与えられた関数 $f(x)$ の指定された範囲における最大値、最小値、およびそれらを与える $x$ の値を求める問題です。 (1) $f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 3$ ($0 \le x \le 2$) (2) $f(x) = -2x^3 - 3x^2 + 12x + 5$ ($-3 \le x \le 1$)

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ の指定された範囲における最大値、最小値、およびそれらを与える $x$ の値を求める問題です。

(1) $f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 3$ ($0 \le x \le 2$)

(2) $f(x) = -2x^3 - 3x^2 + 12x + 5$ ($-3 \le x \le 1$)

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 3$ ($0 \le x \le 2$)

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 8x + 5$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 8x + 5 = 0$

$(3x - 5)(x - 1) = 0$

$x = 1, \frac{5}{3}$

$0 \le x \le 2$ の範囲で $x = 1$ は範囲内にあり、$x = \frac{5}{3}$ も範囲内にあるため、

$x = 0, 1, \frac{5}{3}, 2$ における $f(x)$ の値を計算します。

$f(0) = -3$

$f(1) = 1 - 4 + 5 - 3 = -1$

$f(\frac{5}{3}) = (\frac{5}{3})^3 - 4(\frac{5}{3})^2 + 5(\frac{5}{3}) - 3 = \frac{125}{27} - \frac{100}{9} + \frac{25}{3} - 3 = \frac{125 - 300 + 225 - 81}{27} = \frac{-31}{27}$

$f(2) = 8 - 16 + 10 - 3 = -1$

最大値は $-1$ ($x = 1, 2$ のとき)、最小値は $-3$ ($x = 0$ のとき)

(2) $f(x) = -2x^3 - 3x^2 + 12x + 5$ ($-3 \le x \le 1$)

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = -6x^2 - 6x + 12$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$-6x^2 - 6x + 12 = 0$

$x^2 + x - 2 = 0$

$(x + 2)(x - 1) = 0$

$x = -2, 1$

$-3 \le x \le 1$ の範囲で $x = -2$ は範囲内にあり、$x = 1$ も範囲内にあるため、

$x = -3, -2, 1$ における $f(x)$ の値を計算します。

$f(-3) = -2(-27) - 3(9) + 12(-3) + 5 = 54 - 27 - 36 + 5 = -4$

$f(-2) = -2(-8) - 3(4) + 12(-2) + 5 = 16 - 12 - 24 + 5 = -15$

$f(1) = -2 - 3 + 12 + 5 = 12$

最大値は $12$ ($x = 1$ のとき)、最小値は $-15$ ($x = -2$ のとき)

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $-1$ ($x = 1, 2$ のとき), 最小値: $-3$ ($x = 0$ のとき)

(2) 最大値: $12$ ($x = 1$ のとき), 最小値: $-15$ ($x = -2$ のとき)