$y = \log x$ を $x = 1$ で5次の項までテーラー展開せよ。剰余項は考えない。

1. 問題の内容

$y = \log x$ を $x = 1$ で5次の項までテーラー展開せよ。剰余項は考えない。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ の $x=a$ におけるテーラー展開は次のように表されます。

$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \frac{f''''(a)}{4!}(x-a)^4 + \frac{f'''''(a)}{5!}(x-a)^5 + \dots$

この問題では、$f(x) = \log x$ であり、$a=1$ です。

まず、$f(x)$ の導関数をいくつか計算します。

$f(x) = \log x$

$f'(x) = \frac{1}{x}$

$f''(x) = -\frac{1}{x^2}$

$f'''(x) = \frac{2}{x^3}$

$f''''(x) = -\frac{6}{x^4}$

$f'''''(x) = \frac{24}{x^5}$

次に、$x=1$ におけるこれらの導関数の値を計算します。

$f(1) = \log 1 = 0$

$f'(1) = \frac{1}{1} = 1$

$f''(1) = -\frac{1}{1^2} = -1$

$f'''(1) = \frac{2}{1^3} = 2$

$f''''(1) = -\frac{6}{1^4} = -6$

$f'''''(1) = \frac{24}{1^5} = 24$

これらの値をテーラー展開の公式に代入します。

$f(x) = 0 + 1(x-1) + \frac{-1}{2!}(x-1)^2 + \frac{2}{3!}(x-1)^3 + \frac{-6}{4!}(x-1)^4 + \frac{24}{5!}(x-1)^5$

$f(x) = (x-1) - \frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{1}{3}(x-1)^3 - \frac{1}{4}(x-1)^4 + \frac{1}{5}(x-1)^5$

3. 最終的な答え

$\log x = (x-1) - \frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{1}{3}(x-1)^3 - \frac{1}{4}(x-1)^4 + \frac{1}{5}(x-1)^5$