与えられた6つの関数について、それぞれの導関数を求める問題です。 (1) $y = x^x$ (2) $y = x^{\frac{1}{x}}$ (3) $y = (x+1)(x+2)(x+3)$ (4) $y = \log(x + \sqrt{x^2 + 1})$ (5) $y = a^{\log x}$ (6) $y = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$

1. 問題の内容

与えられた6つの関数について、それぞれの導関数を求める問題です。

(1) $y = x^x$

(2) $y = x^{\frac{1}{x}}$

(3) $y = (x+1)(x+2)(x+3)$

(4) $y = \log(x + \sqrt{x^2 + 1})$

(5) $y = a^{\log x}$

(6) $y = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^x$ の場合：

両辺の自然対数をとると、$\log y = x \log x$。

両辺を$x$で微分すると、$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$。

したがって、$\frac{dy}{dx} = y (\log x + 1) = x^x (\log x + 1)$。

(2) $y = x^{\frac{1}{x}}$ の場合：

両辺の自然対数をとると、$\log y = \frac{1}{x} \log x$。

両辺を$x$で微分すると、$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2} \log x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x^2} (1 - \log x)$。

したがって、$\frac{dy}{dx} = y \frac{1}{x^2} (1 - \log x) = x^{\frac{1}{x}} \frac{1}{x^2} (1 - \log x)$。

(3) $y = (x+1)(x+2)(x+3)$ の場合：

まず、$y = (x+1)(x+2)(x+3) = (x+1)(x^2 + 5x + 6) = x^3 + 6x^2 + 11x + 6$。

これを$x$で微分すると、$\frac{dy}{dx} = 3x^2 + 12x + 11$。

(4) $y = \log(x + \sqrt{x^2 + 1})$ の場合：

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot (1 + \frac{1}{2} (x^2 + 1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x) = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot (1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}) = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 1} + x}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$。

(5) $y = a^{\log x}$ の場合：

$\frac{dy}{dx} = a^{\log x} \cdot \log a \cdot \frac{1}{x} = \frac{a^{\log x} \log a}{x}$。

(6) $y = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$ の場合：

$\log y = \frac{1}{2} \log \frac{1-x}{1+x} = \frac{1}{2} (\log(1-x) - \log(1+x))$。

両辺を$x$で微分すると、$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} (\frac{-1}{1-x} - \frac{1}{1+x}) = \frac{1}{2} (\frac{-1-x - (1-x)}{(1-x)(1+x)}) = \frac{1}{2} \frac{-2}{1-x^2} = \frac{-1}{1-x^2}$。

したがって、$\frac{dy}{dx} = y \frac{-1}{1-x^2} = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \frac{-1}{1-x^2} = \frac{-1}{(1-x^2)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}} = \frac{-1}{(1-x^2)\sqrt{\frac{(1+x)(1-x)}{(1-x)^2}}}=\frac{-1}{(1-x^2)\frac{\sqrt{1-x^2}}{1-x}}=\frac{-1}{(1+x)\sqrt{1-x^2}}$.

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = x^x (\log x + 1)$

(2) $\frac{dy}{dx} = x^{\frac{1}{x}} \frac{1}{x^2} (1 - \log x)$

(3) $\frac{dy}{dx} = 3x^2 + 12x + 11$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$

(5) $\frac{dy}{dx} = \frac{a^{\log x} \log a}{x}$

(6) $\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{(1+x)\sqrt{1-x^2}}$