与えられた問題は以下の通りです。 (1) $\lim_{x \to +0} \sin x \cdot \log x$ (2) $\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \sin \frac{1}{x} \right)^x$ (3) $\lim_{x \to \infty} (x + e^x)^{\frac{1}{x}}$ (4) $\lim_{x \to +0} \frac{\sin x}{\sqrt{1-\cos x}}$ (5) $\lim_{x \to \infty} \frac{x + \log x}{x - \log x}$ 3. $f(x) = x^3 + x^2 + x + 1$ を $x = 1$ の周りで (すなわち $a=1$, $b=x$ として) テイラー展開しなさい。 4. $f(x) = \sqrt{x+1}$ を $n=4$ として有限マクローリン展開しなさい。 5. $f(x) = \frac{1}{1-x}$ を有限マクローリン展開しなさい。 この中から、問題3、4、5を解きます。

1. 問題の内容

与えられた問題は以下の通りです。

(1) $\lim_{x \to +0} \sin x \cdot \log x$

(2) $\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \sin \frac{1}{x} \right)^x$

(3) $\lim_{x \to \infty} (x + e^x)^{\frac{1}{x}}$

(4) $\lim_{x \to +0} \frac{\sin x}{\sqrt{1-\cos x}}$

(5) $\lim_{x \to \infty} \frac{x + \log x}{x - \log x}$

3. $f(x) = x^3 + x^2 + x + 1$ を $x = 1$ の周りで (すなわち $a=1$, $b=x$ として) テイラー展開しなさい。

4. $f(x) = \sqrt{x+1}$ を $n=4$ として有限マクローリン展開しなさい。

5. $f(x) = \frac{1}{1-x}$ を有限マクローリン展開しなさい。

この中から、問題3、4、5を解きます。

2. 解き方の手順

問題3: $f(x) = x^3 + x^2 + x + 1$ を $x=1$ の周りでテイラー展開する。

テイラー展開の公式は、

$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots$

まず、$f(x)$ の各階微分を計算します。

$f(x) = x^3 + x^2 + x + 1$

$f'(x) = 3x^2 + 2x + 1$

$f''(x) = 6x + 2$

$f'''(x) = 6$

$f^{(4)}(x) = 0$ (以降の微分も0)

次に、$x = 1$ での各階微分の値を計算します。

$f(1) = 1^3 + 1^2 + 1 + 1 = 4$

$f'(1) = 3(1)^2 + 2(1) + 1 = 6$

$f''(1) = 6(1) + 2 = 8$

$f'''(1) = 6$

これらの値をテイラー展開の公式に代入します。

$f(x) = 4 + 6(x-1) + \frac{8}{2!}(x-1)^2 + \frac{6}{3!}(x-1)^3$

$f(x) = 4 + 6(x-1) + 4(x-1)^2 + (x-1)^3$

問題4: $f(x) = \sqrt{x+1}$ を $n=4$ として有限マクローリン展開する。

マクローリン展開はテイラー展開の $a=0$ の場合です。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 + \cdots$

まず、$f(x)$ の各階微分を計算します。

$f(x) = (x+1)^{\frac{1}{2}}$

$f'(x) = \frac{1}{2}(x+1)^{-\frac{1}{2}}$

$f''(x) = -\frac{1}{4}(x+1)^{-\frac{3}{2}}$

$f'''(x) = \frac{3}{8}(x+1)^{-\frac{5}{2}}$

$f^{(4)}(x) = -\frac{15}{16}(x+1)^{-\frac{7}{2}}$

次に、$x = 0$ での各階微分の値を計算します。

$f(0) = (0+1)^{\frac{1}{2}} = 1$

$f'(0) = \frac{1}{2}(0+1)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$

$f''(0) = -\frac{1}{4}(0+1)^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{4}$

$f'''(0) = \frac{3}{8}(0+1)^{-\frac{5}{2}} = \frac{3}{8}$

$f^{(4)}(0) = -\frac{15}{16}(0+1)^{-\frac{7}{2}} = -\frac{15}{16}$

これらの値をマクローリン展開の公式に代入します (n=4まで)。

$f(x) = 1 + \frac{1}{2}x + \frac{-\frac{1}{4}}{2!}x^2 + \frac{\frac{3}{8}}{3!}x^3 + \frac{-\frac{15}{16}}{4!}x^4$

$f(x) = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4$

問題5: $f(x) = \frac{1}{1-x}$ を有限マクローリン展開する。

この関数は等比級数の和の公式から、簡単にマクローリン展開できます。

$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$

したがって、n次までの有限マクローリン展開は

$f(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n$

3. 最終的な答え

問題3: $f(x) = 4 + 6(x-1) + 4(x-1)^2 + (x-1)^3$

問題4: $f(x) = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4$

問題5: $f(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n$