画像に記載されている数学の問題のうち、一番最後の問題、つまり問題5を解きます。問題5は、関数 $f(x) = \frac{1}{1-x}$ を有限マクローリン展開せよ、というものです。

1. 問題の内容

画像に記載されている数学の問題のうち、一番最後の問題、つまり問題5を解きます。問題5は、関数 $f(x) = \frac{1}{1-x}$ を有限マクローリン展開せよ、というものです。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数を $x=0$ の周りでテイラー展開することです。関数 $f(x)$ のマクローリン展開は次のようになります。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + ... + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + ...$

与えられた関数 $f(x) = \frac{1}{1-x}$ の導関数をいくつか計算し、$x=0$ での値を求めます。

* $f(x) = (1-x)^{-1}$ なので $f(0) = 1$

* $f'(x) = (1-x)^{-2}$ なので $f'(0) = 1$

* $f''(x) = 2(1-x)^{-3}$ なので $f''(0) = 2$

* $f'''(x) = 6(1-x)^{-4}$ なので $f'''(0) = 6$

* $f^{(4)}(x) = 24(1-x)^{-5}$ なので $f^{(4)}(0) = 24$

一般に、$f^{(n)}(x) = n!(1-x)^{-(n+1)}$ なので、$f^{(n)}(0) = n!$ となります。

したがって、マクローリン展開は次のようになります。

$f(x) = 1 + x + \frac{2}{2!}x^2 + \frac{6}{3!}x^3 + \frac{24}{4!}x^4 + ... + \frac{n!}{n!}x^n + ...$

$f(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + ... + x^n + ...$

3. 最終的な答え

$f(x) = \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + ... + x^n + ...$