## 極限の問題

## 極限の問題

以下に、与えられた極限の問題を解きます。

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1. 問題の内容

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1. 次の極限の値を求めなさい。**

(1) $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\sin^2 x - \frac{1}{2}}{x - \frac{\pi}{4}}$

(2) $\lim_{x \to +0} \frac{\tan^{-1} x}{\sqrt{x}}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(\cos x)}{\sin^2 x}$

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2. 次の極限の値を求めなさい。**

(1) $\lim_{x \to +0} \sin x \cdot \log x$

(2) $\lim_{x \to \infty} (1 + \sin \frac{1}{x})^x$

(3) $\lim_{x \to \infty} (x + e^x)^{\frac{1}{x}}$

(4) $\lim_{x \to +0} \frac{\sin x}{\sqrt{1 - \cos x}}$

(5) $\lim_{x \to \infty} \frac{x + \log x}{x - \log x}$

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2. 解き方の手順

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1. (1)**

$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\sin^2 x - \frac{1}{2}}{x - \frac{\pi}{4}}$

これは $0/0$ の不定形なので、ロピタルの定理を使うことができます。

$\frac{d}{dx}(\sin^2 x - \frac{1}{2}) = 2 \sin x \cos x = \sin 2x$

$\frac{d}{dx}(x - \frac{\pi}{4}) = 1$

よって、

$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\sin^2 x - \frac{1}{2}}{x - \frac{\pi}{4}} = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\sin 2x}{1} = \sin (2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \sin \frac{\pi}{2} = 1$

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1. (2)**

$\lim_{x \to +0} \frac{\tan^{-1} x}{\sqrt{x}}$

$x \to +0$ のとき、$\tan^{-1} x \approx x$ なので、

$\lim_{x \to +0} \frac{\tan^{-1} x}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to +0} \frac{x}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to +0} \sqrt{x} = 0$

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1. (3)**

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(\cos x)}{\sin^2 x}$

これは $0/0$ の不定形なので、ロピタルの定理を使うことができます。

$\frac{d}{dx} \log(\cos x) = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x$

$\frac{d}{dx} \sin^2 x = 2 \sin x \cos x = \sin 2x$

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(\cos x)}{\sin^2 x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\tan x}{\sin 2x}$

再び $0/0$ の不定形なので、ロピタルの定理を使うことができます。

$\frac{d}{dx} (-\tan x) = -\sec^2 x = -\frac{1}{\cos^2 x}$

$\frac{d}{dx} (\sin 2x) = 2 \cos 2x$

$\lim_{x \to 0} \frac{-\tan x}{\sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{\cos^2 x}}{2 \cos 2x} = \frac{-1}{2}$

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2. (1)**

$\lim_{x \to +0} \sin x \cdot \log x$

$x \to +0$ のとき、$\sin x \approx x$ なので、

$\lim_{x \to +0} \sin x \cdot \log x = \lim_{x \to +0} x \cdot \log x$

これは $0 \cdot (-\infty)$ の不定形なので、変形します。

$\lim_{x \to +0} x \log x = \lim_{x \to +0} \frac{\log x}{\frac{1}{x}}$

これは $\frac{-\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使えます。

$\frac{d}{dx} \log x = \frac{1}{x}$

$\frac{d}{dx} \frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2}$

$\lim_{x \to +0} \frac{\log x}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to +0} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to +0} -x = 0$

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2. (2)**

$\lim_{x \to \infty} (1 + \sin \frac{1}{x})^x$

$\lim_{x \to \infty} (1 + \sin \frac{1}{x})^x = \lim_{x \to \infty} e^{\log (1 + \sin \frac{1}{x})^x} = \lim_{x \to \infty} e^{x \log (1 + \sin \frac{1}{x})}$

$t = \frac{1}{x}$ と置くと、$x \to \infty$ のとき、$t \to 0$ なので、

$\lim_{x \to \infty} e^{x \log (1 + \sin \frac{1}{x})} = \lim_{t \to 0} e^{\frac{1}{t} \log (1 + \sin t)}$

$\lim_{t \to 0} \frac{\log (1 + \sin t)}{t}$ は $0/0$ の不定形なので、ロピタルの定理を使えます。

$\frac{d}{dt} \log (1 + \sin t) = \frac{\cos t}{1 + \sin t}$

$\frac{d}{dt} t = 1$

$\lim_{t \to 0} \frac{\log (1 + \sin t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{\cos t}{1 + \sin t}}{1} = \frac{1}{1} = 1$

よって、$\lim_{x \to \infty} (1 + \sin \frac{1}{x})^x = e^1 = e$

**

2. (3)**

$\lim_{x \to \infty} (x + e^x)^{\frac{1}{x}}$

$\lim_{x \to \infty} (x + e^x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} e^{\log (x + e^x)^{\frac{1}{x}}} = \lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x} \log (x + e^x)}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log (x + e^x)}{x}$

$e^x$の方が$x$よりも遥かに早く増加するため、$x\to\infty$において、$x + e^x \approx e^x$と近似できる。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log (e^x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} = 1$

よって、$\lim_{x \to \infty} (x + e^x)^{\frac{1}{x}} = e^1 = e$

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2. (4)**

$\lim_{x \to +0} \frac{\sin x}{\sqrt{1 - \cos x}}$

$x \to +0$ のとき、$\sin x \approx x$ 、 $1 - \cos x \approx \frac{x^2}{2}$ なので、

$\lim_{x \to +0} \frac{\sin x}{\sqrt{1 - \cos x}} = \lim_{x \to +0} \frac{x}{\sqrt{\frac{x^2}{2}}} = \lim_{x \to +0} \frac{x}{\frac{|x|}{\sqrt{2}}} = \lim_{x \to +0} \frac{x}{\frac{x}{\sqrt{2}}} = \sqrt{2}$

**

2. (5)**

$\lim_{x \to \infty} \frac{x + \log x}{x - \log x}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{x + \log x}{x - \log x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{\log x}{x}}{1 - \frac{\log x}{x}}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x} = 0$ (ロピタルの定理より)

よって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{x + \log x}{x - \log x} = \frac{1 + 0}{1 - 0} = 1$

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3. 最終的な答え

**1.**

(1) 1

(2) 0

(3) -1/2

**2.**

(1) 0

(2) e

(3) e

(4) $\sqrt{2}$

(5) 1