$h \fallingdotseq 0$ のとき、$e^{a+h}$ の1次の近似式を求める問題です。

1. 問題の内容

$h \fallingdotseq 0$ のとき、$e^{a+h}$ の1次の近似式を求める問題です。

2. 解き方の手順

1次の近似式は、関数$f(x)$に対して、$x=a$の周りで、

$f(a+h) \fallingdotseq f(a) + f'(a)h$

で与えられます。

今回の問題では、$f(x) = e^x$とおくと、$f(a+h) = e^{a+h}$ となります。

$f(x) = e^x$ の導関数は、$f'(x) = e^x$ です。したがって、$f'(a) = e^a$となります。

これらを1次の近似式の公式に代入すると、

$e^{a+h} \fallingdotseq e^a + e^a h = e^a (1+h)$

3. 最終的な答え

$e^{a+h} \fallingdotseq e^a(1+h)$