以下の5つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 0+} \sin x \cdot \log x$ (2) $\lim_{x \to \infty} (1 + \sin(1/x))^x$ (3) $\lim_{x \to \infty} (x + e^x)^{1/x}$ (4) $\lim_{x \to 0+} \frac{\sin x}{\sqrt{1 - \cos x}}$ (5) $\lim_{x \to \infty} \frac{x + \log x}{x - \log x}$

はい、承知いたしました。画像に写っている5つの極限の計算問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の5つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 0+} \sin x \cdot \log x$

(2) $\lim_{x \to \infty} (1 + \sin(1/x))^x$

(3) $\lim_{x \to \infty} (x + e^x)^{1/x}$

(4) $\lim_{x \to 0+} \frac{\sin x}{\sqrt{1 - \cos x}}$

(5) $\lim_{x \to \infty} \frac{x + \log x}{x - \log x}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0+} \sin x \cdot \log x$

まず、$\lim_{x \to 0+} \sin x = 0$ かつ $\lim_{x \to 0+} \log x = -\infty$ であることに注意します。

したがって、$0 \cdot (-\infty)$ の不定形となります。

$\sin x \cdot \log x = \frac{\log x}{1/\sin x}$ と変形し、ロピタルの定理を適用することを考えます。

しかし、$1/\sin x$ の微分が複雑になるため、別の方法を考えます。

$\lim_{x \to 0+} \frac{\sin x}{x} = 1$ であることを利用して、$\sin x \cdot \log x = \frac{\sin x}{x} \cdot x \log x$ と変形します。

このとき、$\lim_{x \to 0+} \frac{\sin x}{x} = 1$ であり、$\lim_{x \to 0+} x \log x = 0$ が成り立ちます。

なぜなら、$x \log x = \frac{\log x}{1/x}$ と変形し、ロピタルの定理を適用すると、$\lim_{x \to 0+} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0+} (-x) = 0$ となるからです。

したがって、$\lim_{x \to 0+} \sin x \cdot \log x = 1 \cdot 0 = 0$ となります。

(2) $\lim_{x \to \infty} (1 + \sin(1/x))^x$

$\lim_{x \to \infty} \sin(1/x) = 0$ なので、$1/x = t$ と置くと、$x \to \infty$ のとき $t \to 0$ となります。

したがって、$\lim_{x \to \infty} (1 + \sin(1/x))^x = \lim_{t \to 0} (1 + \sin t)^{1/t}$ となります。

$\lim_{t \to 0} (1 + \sin t)^{1/t} = \lim_{t \to 0} \exp(\frac{\log(1 + \sin t)}{t})$ と変形できます。

$\lim_{t \to 0} \frac{\log(1 + \sin t)}{t}$ を計算します。

$\lim_{t \to 0} \frac{\log(1 + \sin t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{\cos t}{1 + \sin t}}{1} = \lim_{t \to 0} \frac{\cos t}{1 + \sin t} = \frac{1}{1} = 1$

したがって、$\lim_{x \to \infty} (1 + \sin(1/x))^x = \exp(1) = e$ となります。

(3) $\lim_{x \to \infty} (x + e^x)^{1/x}$

$(x + e^x)^{1/x} = (e^x(xe^{-x} + 1))^{1/x} = e(xe^{-x} + 1)^{1/x}$ と変形できます。

$\lim_{x \to \infty} xe^{-x} = 0$ なので、$\lim_{x \to \infty} (xe^{-x} + 1) = 1$ となります。

また、$\lim_{x \to \infty} 1^{1/x} = 1$ であるため、$\lim_{x \to \infty} (x + e^x)^{1/x} = e \cdot 1 = e$ となります。

(4) $\lim_{x \to 0+} \frac{\sin x}{\sqrt{1 - \cos x}}$

$\lim_{x \to 0+} \frac{\sin x}{\sqrt{1 - \cos x}}$

$\sin x \approx x$ および $1 - \cos x \approx \frac{x^2}{2}$ ($x \to 0$ のとき) を用いると、

$\lim_{x \to 0+} \frac{\sin x}{\sqrt{1 - \cos x}} = \lim_{x \to 0+} \frac{x}{\sqrt{x^2/2}} = \lim_{x \to 0+} \frac{x}{|x|/\sqrt{2}} = \lim_{x \to 0+} \frac{\sqrt{2}x}{|x|}$

ここで、$x \to 0+$ なので $x > 0$ となり、$|x| = x$ です。

したがって、$\lim_{x \to 0+} \frac{\sin x}{\sqrt{1 - \cos x}} = \lim_{x \to 0+} \frac{\sqrt{2}x}{x} = \sqrt{2}$ となります。

(5) $\lim_{x \to \infty} \frac{x + \log x}{x - \log x}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{x + \log x}{x - \log x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{\log x}{x}}{1 - \frac{\log x}{x}}$ と変形します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x} = 0$ であるので、$\lim_{x \to \infty} \frac{x + \log x}{x - \log x} = \frac{1 + 0}{1 - 0} = 1$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) e

(3) e

(4) $\sqrt{2}$

(5) 1