$\int \frac{1}{x^2-25} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int \frac{1}{x^2-25} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{1}{x^2 - 25} = \frac{1}{(x-5)(x+5)}$

$\frac{1}{(x-5)(x+5)} = \frac{A}{x-5} + \frac{B}{x+5}$

両辺に $(x-5)(x+5)$ を掛けると

$1 = A(x+5) + B(x-5)$

$1 = Ax + 5A + Bx - 5B$

$1 = (A+B)x + (5A - 5B)$

係数比較により、以下の連立方程式を得ます。

$A + B = 0$

$5A - 5B = 1$

第一式より、$B = -A$ なので、第二式に代入すると、

$5A - 5(-A) = 1$

$10A = 1$

$A = \frac{1}{10}$

したがって、$B = -\frac{1}{10}$

よって、

$\frac{1}{x^2 - 25} = \frac{1/10}{x-5} - \frac{1/10}{x+5}$

積分を計算します。

$\int \frac{1}{x^2 - 25} dx = \int \left( \frac{1/10}{x-5} - \frac{1/10}{x+5} \right) dx$

$= \frac{1}{10} \int \frac{1}{x-5} dx - \frac{1}{10} \int \frac{1}{x+5} dx$

$= \frac{1}{10} \ln|x-5| - \frac{1}{10} \ln|x+5| + C$

$= \frac{1}{10} (\ln|x-5| - \ln|x+5|) + C$

$= \frac{1}{10} \ln \left| \frac{x-5}{x+5} \right| + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{10} \ln \left| \frac{x-5}{x+5} \right| + C$