問題は3つの部分から構成されています。 1. $z = \tan(2x+y)$ 上の点 $(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \boxed{1})$ における接平面の方程式を求める。

1. 問題の内容

問題は3つの部分から構成されています。

1. $z = \tan(2x+y)$ 上の点 $(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \boxed{1})$ における接平面の方程式を求める。

2. $z = x^y$ 上の点 $(e, 2, e^{\boxed{6}})$ における接平面の方程式を求める。

3. $z = f(x, y), x = \frac{1}{2}(e^{u+v} + e^{u-v}), y = \frac{1}{2}(e^{u+v} - e^{u-v})$ のとき、$z_u$、$z_v$ およびヤコビアン $x_u y_v - x_v y_u$ を求める。

2. 解き方の手順

1.

$z = \tan(2x+y)$について、まずz値を求めます。

$z(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}) = \tan(2\cdot \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}) = \tan(\frac{3\pi}{4}) = -1$

よって、$\boxed{1}$は-1です。

$z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = 2\sec^2(2x+y)$

$z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = \sec^2(2x+y)$

点 $(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$ において、

$z_x(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}) = 2\sec^2(\frac{3\pi}{4}) = 2(\sqrt{2})^2 = 4$

$z_y(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}) = \sec^2(\frac{3\pi}{4}) = (\sqrt{2})^2 = 2$

接平面の方程式は

$z - z_0 = z_x(x-x_0) + z_y(y-y_0)$

$z - (-1) = 4(x - \frac{\pi}{4}) + 2(y - \frac{\pi}{4})$

$z + 1 = 4x - \pi + 2y - \frac{\pi}{2}$

$z = 4x + 2y - \frac{3\pi}{2} - 1$

よって、$\boxed{2}=4$, $\boxed{3}=2$, $\boxed{4}=\frac{3}{2}$, $\boxed{5}=1$

2. $z = x^y$ について、点$(e, 2)$におけるz値を計算します。

$z(e,2) = e^2$

よって、$\boxed{6}=2$です。

$z_x = yx^{y-1}$

$z_y = x^y \ln x$

点 $(e, 2)$ において、

$z_x(e, 2) = 2e^{2-1} = 2e$

$z_y(e, 2) = e^2 \ln e = e^2$

接平面の方程式は

$z - z_0 = z_x(x - x_0) + z_y(y - y_0)$

$z - e^2 = 2e(x - e) + e^2(y - 2)$

$z - e^2 = 2ex - 2e^2 + e^2 y - 2e^2$

$z = 2ex + e^2 y - 3e^2$

よって、$\boxed{7}=2$, $\boxed{8}=2$, $\boxed{9}=3$, $\boxed{10}=2$

3. $z = f(x,y)$, $x = \frac{1}{2}(e^{u+v} + e^{u-v})$, $y = \frac{1}{2}(e^{u+v} - e^{u-v})$

$x_u = \frac{1}{2}(e^{u+v} + e^{u-v}) = x$

$x_v = \frac{1}{2}(e^{u+v} - e^{u-v}) = y$

$y_u = \frac{1}{2}(e^{u+v} - e^{u-v}) = y$

$y_v = \frac{1}{2}(e^{u+v} + e^{u-v}) = x$

$z_u = z_x x_u + z_y y_u = x z_x + y z_y$

$z_v = z_x x_v + z_y y_v = y z_x + x z_y$

よって、$\boxed{11}=x$, $\boxed{12}=y$, $\boxed{13}=y$, $\boxed{14}=x$

$x_u y_v - x_v y_u = x \cdot x - y \cdot y = x^2 - y^2$

$x^2 = \frac{1}{4}(e^{2u+2v} + 2e^{2u} + e^{2u-2v})$

$y^2 = \frac{1}{4}(e^{2u+2v} - 2e^{2u} + e^{2u-2v})$

$x^2 - y^2 = \frac{1}{4}(4e^{2u}) = e^{2u}$

よって、$\boxed{15}=e^{2u}$

3. 最終的な答え

1. -1, 4, 2, 3/2, 1

2. 2, 2, 3, 2

3. x, y, y, x, e^(2u)