次の定積分を計算します。 $\int_1^e \frac{(\log x)^3}{x} dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_1^e \frac{(\log x)^3}{x} dx$

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。$u = \log x$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx$ となります。

また、積分範囲も変わります。$x=1$ のとき $u = \log 1 = 0$ であり、$x=e$ のとき $u = \log e = 1$ です。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_0^1 u^3 du$

これは簡単に積分できます。

$\int_0^1 u^3 du = \left[ \frac{1}{4} u^4 \right]_0^1 = \frac{1}{4} (1^4 - 0^4) = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}$