定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3{\theta} \, d\theta$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3{\theta} \, d\theta$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\cos^3{\theta}$ を $\cos{\theta}$ と $\cos^2{\theta}$ に分解し、$\cos^2{\theta}$ を三角関数の恒等式 $\cos^2{\theta} = 1 - \sin^2{\theta}$ を用いて変形します。

したがって、

$\cos^3{\theta} = \cos{\theta} \cos^2{\theta} = \cos{\theta}(1 - \sin^2{\theta})$

次に、置換積分を行います。$u = \sin{\theta}$ とおくと、$du = \cos{\theta} \, d\theta$ となります。

積分範囲は、$\theta = 0$ のとき $u = \sin{0} = 0$、$\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき $u = \sin{\frac{\pi}{2}} = 1$ となります。

よって、積分は以下のようになります。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3{\theta} \, d\theta = \int_{0}^{1} (1 - u^2) \, du$

上記の積分を計算します。

$\int_{0}^{1} (1 - u^2) \, du = \left[ u - \frac{u^3}{3} \right]_{0}^{1} = \left(1 - \frac{1^3}{3}\right) - \left(0 - \frac{0^3}{3}\right) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3{\theta} \, d\theta = \frac{2}{3}$