与えられた二つの不定積分を計算します。 (1) $\int x\sqrt{2x-1} dx$ (2) $\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx$

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた二つの不定積分を計算します。

(1) $\int x\sqrt{2x-1} dx$

(2) $\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int x\sqrt{2x-1} dx$ の計算

置換積分を行います。$u = 2x-1$ とおくと、$x = \frac{u+1}{2}$ であり、$dx = \frac{1}{2}du$ となります。

したがって、

$\int x\sqrt{2x-1} dx = \int \frac{u+1}{2}\sqrt{u} \frac{1}{2}du = \frac{1}{4} \int (u+1)\sqrt{u} du = \frac{1}{4} \int (u^{3/2} + u^{1/2}) du$

$= \frac{1}{4} (\frac{2}{5}u^{5/2} + \frac{2}{3}u^{3/2}) + C = \frac{1}{10}u^{5/2} + \frac{1}{6}u^{3/2} + C$

ここで、$u = 2x-1$ を代入すると、

$\frac{1}{10}(2x-1)^{5/2} + \frac{1}{6}(2x-1)^{3/2} + C = \frac{(2x-1)^{3/2}}{30}(3(2x-1) + 5) + C = \frac{(2x-1)^{3/2}}{30}(6x+2) + C = \frac{(2x-1)^{3/2}}{15}(3x+1) + C$

(2) $\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx$ の計算

置換積分を行います。$u = x+1$ とおくと、$x = u-1$ であり、$dx = du$ となります。

したがって、

$\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx = \int \frac{u-1}{\sqrt{u}} du = \int (u^{1/2} - u^{-1/2}) du$

$= \frac{2}{3}u^{3/2} - 2u^{1/2} + C$

ここで、$u = x+1$ を代入すると、

$\frac{2}{3}(x+1)^{3/2} - 2(x+1)^{1/2} + C = 2(x+1)^{1/2} (\frac{1}{3}(x+1) - 1) + C = 2\sqrt{x+1} (\frac{x+1-3}{3}) + C = \frac{2}{3}\sqrt{x+1}(x-2) + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int x\sqrt{2x-1} dx = \frac{(2x-1)^{3/2}}{15}(3x+1) + C$

(2) $\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx = \frac{2}{3}\sqrt{x+1}(x-2) + C$