問題は、$\tan \frac{x}{2} = t$ とするとき、以下の2つの問いに答えるものです。 (1) $\sin x$, $\cos x$, $\frac{dx}{dt}$ をそれぞれ $t$ の式で表す。 (2) 定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin x + \cos x + 1}$ を求める。

1. 問題の内容

問題は、$\tan \frac{x}{2} = t$ とするとき、以下の2つの問いに答えるものです。

(1) $\sin x$, $\cos x$, $\frac{dx}{dt}$ をそれぞれ $t$ の式で表す。

(2) 定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin x + \cos x + 1}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\sin x$, $\cos x$, $\frac{dx}{dt}$ を $t$ の式で表す。

$\tan \frac{x}{2} = t$ より、

$\sin x = \frac{2 \tan \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}} = \frac{2t}{1+t^2}$

$\cos x = \frac{1 - \tan^2 \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}} = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$

$t = \tan \frac{x}{2}$ より、$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} = \frac{1}{2} (1 + \tan^2 \frac{x}{2}) = \frac{1}{2}(1+t^2)$

したがって、$\frac{dx}{dt} = \frac{2}{1+t^2}$

(2) 定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin x + \cos x + 1}$ を求める。

(1)の結果を使って置換積分を行います。

$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$, $\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$, $\frac{dx}{dt} = \frac{2}{1+t^2}$

$x: 0 \to \frac{\pi}{2}$ のとき、$t: \tan 0 \to \tan \frac{\pi}{4}$ すなわち $t: 0 \to 1$ である。

よって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin x + \cos x + 1} = \int_{0}^{1} \frac{1}{\frac{2t}{1+t^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2} + 1} \cdot \frac{2}{1+t^2} dt$

$= \int_{0}^{1} \frac{1}{\frac{2t + 1 - t^2 + 1 + t^2}{1+t^2}} \cdot \frac{2}{1+t^2} dt$

$= \int_{0}^{1} \frac{1}{\frac{2t+2}{1+t^2}} \cdot \frac{2}{1+t^2} dt$

$= \int_{0}^{1} \frac{1+t^2}{2t+2} \cdot \frac{2}{1+t^2} dt$

$= \int_{0}^{1} \frac{1}{t+1} dt$

$= [\ln |t+1|]_{0}^{1}$

$= \ln (1+1) - \ln (0+1)$

$= \ln 2 - \ln 1$

$= \ln 2 - 0$

$= \ln 2$

3. 最終的な答え

(1)

$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$

$\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$

$\frac{dx}{dt} = \frac{2}{1+t^2}$

(2)

$\ln 2$