与えられた4つの級数の収束半径を求める問題です。各級数は以下の通りです。 (1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} x^n$ (2) $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{2^n}{n^2} x^n$ (3) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n+1}{3^n+1} x^n$ (4) $\sum_{n=1}^{\infty} (\log n) x^n$

1. 問題の内容

与えられた4つの級数の収束半径を求める問題です。各級数は以下の通りです。

(1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} x^n$

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{2^n}{n^2} x^n$

(3) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n+1}{3^n+1} x^n$

(4) $\sum_{n=1}^{\infty} (\log n) x^n$

2. 解き方の手順

収束半径 $R$ を求めるには、一般に次の公式を利用します。

$R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} |a_n|^{\frac{1}{n}}}$ または $R = \lim_{n \to \infty} |\frac{a_n}{a_{n+1}}|$

ただし、$a_n$ は $x^n$ の係数です。

(1) $a_n = \frac{n!}{n^n}$ のとき、

$|\frac{a_n}{a_{n+1}}| = |\frac{n!/n^n}{(n+1)!/(n+1)^{n+1}}| = \frac{n!}{(n+1)!} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = \frac{1}{n+1} \cdot \frac{(n+1)^n (n+1)}{n^n} = (\frac{n+1}{n})^n = (1+\frac{1}{n})^n$

$\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n = e$

したがって、収束半径 $R = e$。

(2) $a_n = (-1)^n \frac{2^n}{n^2}$ のとき、

$|\frac{a_n}{a_{n+1}}| = |\frac{(-1)^n 2^n/n^2}{(-1)^{n+1} 2^{n+1}/(n+1)^2}| = \frac{2^n}{2^{n+1}} \cdot \frac{(n+1)^2}{n^2} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{n+1}{n})^2 = \frac{1}{2} (1+\frac{1}{n})^2$

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} (1+\frac{1}{n})^2 = \frac{1}{2} (1)^2 = \frac{1}{2}$

したがって、収束半径 $R = \frac{1}{2}$。

(3) $a_n = \frac{2^n+1}{3^n+1}$ のとき、

\lim_{n \to \infty} |a_n|^{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} (\frac{2^n+1}{3^n+1})^{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} (\frac{2^n(1+\frac{1}{2^n})}{3^n(1+\frac{1}{3^n})})^{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} (\frac{2}{3})^n^{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{3} = \frac{2}{3}

したがって、収束半径 $R = \frac{3}{2}$。

(4) $a_n = \log n$ のとき、

$\lim_{n \to \infty} (\log n)^{\frac{1}{n}} = 1$ が成り立ちます。

理由は、$1 < \log n < n$ であるから、$1^{\frac{1}{n}} < (\log n)^{\frac{1}{n}} < n^{\frac{1}{n}}$ となり、$n \to \infty$ で $n^{\frac{1}{n}} \to 1$ だからです。

したがって、収束半径 $R = 1$。

3. 最終的な答え

(1) $R = e$

(2) $R = \frac{1}{2}$

(3) $R = \frac{3}{2}$

(4) $R = 1$