実数 $k$ を定数とする3次関数 $f(x) = 2x^3 - (3k+1)x^2 + 2kx$ について、以下の問いに答える。 (1) $f(0)$ を求め、3次方程式 $f(x) = 0$ がただ一つの実数解を持つときの $k$ の範囲を求める。 (2) 関数 $f(x)$ が $x = \alpha$, $x = \beta$ で極値を取るとする（ただし $0 < \alpha < \beta$）。座標平面上で2点 $A(\alpha, f(\alpha))$, $B(\beta, f(\beta))$ を通る直線を $\ell$ とする。 (i) $k$ の取りうる値の範囲を求める。 (ii) $\ell$ の傾きを $k$ を用いて表す。

1. 問題の内容

実数 $k$ を定数とする3次関数 $f(x) = 2x^3 - (3k+1)x^2 + 2kx$ について、以下の問いに答える。

(1) $f(0)$ を求め、3次方程式 $f(x) = 0$ がただ一つの実数解を持つときの $k$ の範囲を求める。

(2) 関数 $f(x)$ が $x = \alpha$, $x = \beta$ で極値を取るとする（ただし $0 < \alpha < \beta$）。座標平面上で2点 $A(\alpha, f(\alpha))$, $B(\beta, f(\beta))$ を通る直線を $\ell$ とする。

(i) $k$ の取りうる値の範囲を求める。

(ii) $\ell$ の傾きを $k$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(0)$を求める。

$f(0) = 2(0)^3 - (3k+1)(0)^2 + 2k(0) = 0$

よって、$f(0) = 0$

次に、$f(x) = 0$ がただ一つの実数解を持つときの $k$ の範囲を求める。

$f(x) = x(2x^2 - (3k+1)x + 2k) = 0$

$x = 0$ は一つの解なので、$2x^2 - (3k+1)x + 2k = 0$ が実数解を持たないか、$x=0$以外の重解を持つ必要がある。

$2x^2 - (3k+1)x + 2k = (2x-1)(x-2k)=0$

判別式 $D = (3k+1)^2 - 4(2)(2k) = 9k^2 + 6k + 1 - 16k = 9k^2 - 10k + 1 = (9k-1)(k-1)$

$D < 0$のとき、実数解を持たないので、 $(9k-1)(k-1) < 0 \implies \frac{1}{9} < k < 1$

次に重解を持つ場合を考える。

$k=1$ のとき、$2x^2 - 4x + 2 = 2(x-1)^2 = 0$, $x=1$ (重解)となり、 $x=0,1$で条件を満たす。

$k=1/9$ のとき、$2x^2 - (3(1/9)+1)x + 2(1/9) = 2x^2 - (4/3)x + 2/9 = 0$

$18x^2 - 12x + 2 = 2(9x^2 - 6x + 1) = 2(3x-1)^2 = 0$, $x = \frac{1}{3}$ (重解)となり、$x=0, \frac{1}{3}$で条件を満たす。

$2x^2 - (3k+1)x + 2k = 0$ が $x = 0$ を解に持つと仮定すると、

$2(0)^2 - (3k+1)(0) + 2k = 0$ より、$k=0$となり、$2x^2 - x = x(2x-1) = 0$。

$x=0, \frac{1}{2}$となるため、これは条件を満たさない。

したがって、$f(x)=0$がただ一つの実数解を持つとき、$1/9 < k < 1$

(2)

$f(x) = 2x^3 - (3k+1)x^2 + 2kx$

$f'(x) = 6x^2 - 2(3k+1)x + 2k = 2(3x^2 - (3k+1)x + k) = 2(3x-1)(x-k)$

$f(x)$ が $x = \alpha, x = \beta$ で極値を持つので、$f'(x) = 0$ が異なる2つの実数解を持つ必要がある。

$3x^2 - (3k+1)x + k = 0$

解は $x = \frac{1}{3}, k$

$0 < \alpha < \beta$ より、$0 < \alpha < \beta$ かつ $\alpha, \beta$ は $1/3$ と $k$.

よって、$k \neq \frac{1}{3}$.

$0 < \frac{1}{3} < k$ または $0 < k < \frac{1}{3}$

$0 < \alpha < \beta$なので、$0 < \alpha < \beta$ で極値を持つためには、$k > 1/3$が成り立つ必要がある。

(i) よって、$k > \frac{1}{3}$

(ii) $\alpha = \frac{1}{3}$, $\beta = k$ とすると、

$f(\frac{1}{3}) = 2(\frac{1}{3})^3 - (3k+1)(\frac{1}{3})^2 + 2k(\frac{1}{3}) = \frac{2}{27} - \frac{3k+1}{9} + \frac{2k}{3} = \frac{2-3(3k+1)+18k}{27} = \frac{2-9k-3+18k}{27} = \frac{9k-1}{27}$

$f(k) = 2k^3 - (3k+1)k^2 + 2k^2 = 2k^3 - 3k^3 - k^2 + 2k^2 = -k^3 + k^2$

$\ell$ の傾きは $\frac{f(k) - f(\frac{1}{3})}{k - \frac{1}{3}} = \frac{-k^3+k^2 - \frac{9k-1}{27}}{k - \frac{1}{3}} = \frac{-27k^3 + 27k^2 - 9k + 1}{27(k-\frac{1}{3})} = \frac{-(3k-1)^3}{27(k-\frac{1}{3})} = \frac{-(3k-1)^2}{9} = - \frac{9k^2 - 6k + 1}{9} = -k^2 + \frac{2}{3} k - \frac{1}{9}$

3. 最終的な答え

(1) ア: 0, イ: 1, ウ: 9, エ: 1

(2) (i) オ: 1, カ: 1, キ: 3, ク: なし, ケ: なし

(ii) コ: -1, サ: 2, シ: 3, ス: 1, セ: 9