(1) 無限等比級数 $2 - \frac{1}{2} + \frac{1}{8} - \frac{1}{32} + \frac{1}{128} - \dots$ の和を求める。 (2) 循環小数 $0.\dot{3} = 0.3 + 0.03 + 0.003 + \dots$ を分数で表す。

1. 問題の内容

(1) 無限等比級数 $2 - \frac{1}{2} + \frac{1}{8} - \frac{1}{32} + \frac{1}{128} - \dots$ の和を求める。

(2) 循環小数 $0.\dot{3} = 0.3 + 0.03 + 0.003 + \dots$ を分数で表す。

2. 解き方の手順

(1) 無限等比級数の和の公式 $S = \frac{a}{1 - r}$ を使う。ここで、$a$ は初項、$r$ は公比である。

与えられた級数において、初項は $a = 2$ であり、公比は $r = -\frac{1}{4}$ である。

したがって、和は

$S = \frac{2}{1 - (-\frac{1}{4})} = \frac{2}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{2}{\frac{5}{4}} = \frac{2 \times 4}{5} = \frac{8}{5}$

(2) $0.\dot{3}$ は、無限等比級数 $0.3 + 0.03 + 0.003 + \dots$ で表される。

初項は $a = 0.3 = \frac{3}{10}$ であり、公比は $r = \frac{1}{10}$ である。

したがって、和は

$S = \frac{\frac{3}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{\frac{3}{10}}{\frac{9}{10}} = \frac{3}{10} \times \frac{10}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{8}{5}$

(2) $\frac{1}{3}$