xy平面上を運動する点Pの座標が時刻t (t>0) において $x = t^2\cos t$, $y = t^2\sin t$ で与えられている。原点をOとし、時刻tにおけるPの速度ベクトルを$\vec{v}$とする。 (1) $\vec{OP}$と$\vec{v}$のなす角を$\theta(t)$とするとき、極限値$\lim_{t\to\infty} \theta(t)$を求めよ。 (2) $\vec{v}$がy軸に平行になるようなt (t>0)のうち、最も小さいものを$t_1$、次に小さいものを$t_2$とする。このとき、不等式$t_1<\pi<t_2$を示せ。

はい、承知いたしました。与えられた問題について、以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

xy平面上を運動する点Pの座標が時刻t (t>0) において $x = t^2\cos t$, $y = t^2\sin t$ で与えられている。原点をOとし、時刻tにおけるPの速度ベクトルを$\vec{v}$とする。

(1) $\vec{OP}$と$\vec{v}$のなす角を$\theta(t)$とするとき、極限値$\lim_{t\to\infty} \theta(t)$を求めよ。

(2) $\vec{v}$がy軸に平行になるようなt (t>0)のうち、最も小さいものを$t_1$、次に小さいものを$t_2$とする。このとき、不等式$t_1<\pi<t_2$を示せ。

2. 解き方の手順

(1) まず、速度ベクトル$\vec{v}$を求める。$\vec{v} = (\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt})$であるから、

$$\frac{dx}{dt} = 2t\cos t - t^2\sin t$$

$$\frac{dy}{dt} = 2t\sin t + t^2\cos t$$

よって、$\vec{v} = (2t\cos t - t^2\sin t, 2t\sin t + t^2\cos t)$。

次に、$\vec{OP}$を求める。$\vec{OP} = (x, y) = (t^2\cos t, t^2\sin t)$。

$\vec{OP}$と$\vec{v}$のなす角$\theta(t)$について、

$$\cos\theta(t) = \frac{\vec{OP}\cdot\vec{v}}{|\vec{OP}||\vec{v}|}$$

$$\vec{OP}\cdot\vec{v} = t^2\cos t(2t\cos t - t^2\sin t) + t^2\sin t(2t\sin t + t^2\cos t)$$

$$= 2t^3\cos^2 t - t^4\sin t\cos t + 2t^3\sin^2 t + t^4\sin t\cos t$$

$$= 2t^3(\cos^2 t + \sin^2 t) = 2t^3$$

$$|\vec{OP}| = \sqrt{(t^2\cos t)^2 + (t^2\sin t)^2} = \sqrt{t^4(\cos^2 t + \sin^2 t)} = \sqrt{t^4} = t^2$$

$$|\vec{v}| = \sqrt{(2t\cos t - t^2\sin t)^2 + (2t\sin t + t^2\cos t)^2}$$

$$= \sqrt{4t^2\cos^2 t - 4t^3\sin t\cos t + t^4\sin^2 t + 4t^2\sin^2 t + 4t^3\sin t\cos t + t^4\cos^2 t}$$

$$= \sqrt{4t^2(\cos^2 t + \sin^2 t) + t^4(\sin^2 t + \cos^2 t)} = \sqrt{4t^2 + t^4} = t\sqrt{4 + t^2}$$

$$\cos\theta(t) = \frac{2t^3}{t^2\cdot t\sqrt{4 + t^2}} = \frac{2t^3}{t^3\sqrt{4 + t^2}} = \frac{2}{\sqrt{4 + t^2}}$$

$$\lim_{t\to\infty}\cos\theta(t) = \lim_{t\to\infty}\frac{2}{\sqrt{4 + t^2}} = 0$$

よって、$\lim_{t\to\infty}\theta(t) = \frac{\pi}{2}$。

(2) $\vec{v}$がy軸に平行になるのは、$\frac{dx}{dt} = 0$となるときである。

$2t\cos t - t^2\sin t = 0$

$t(2\cos t - t\sin t) = 0$

$t>0$より、 $2\cos t - t\sin t = 0$

$t\sin t = 2\cos t$

$\tan t = \frac{2}{t}$

$f(t) = \tan t$, $g(t) = \frac{2}{t}$とおくと、$t_1, t_2$は$f(t) = g(t)$の解である。

$t_1$は最初に交わる点、$t_2$は次に交わる点である。

$f(0) = 0$, $g(0) = \infty$

$f(\frac{\pi}{2}) = \infty$, $g(\frac{\pi}{2}) = \frac{4}{\pi}$

$f(\pi) = 0$, $g(\pi) = \frac{2}{\pi}$

$f(\frac{3\pi}{2}) = \infty$, $g(\frac{3\pi}{2}) = \frac{4}{3\pi}$

$f(2\pi) = 0$, $g(2\pi) = \frac{1}{\pi}$

$\pi \approx 3.14$

$\frac{2}{\pi} \approx 0.636$

$\frac{4}{\pi} \approx 1.27$

$\tan t$は$\frac{\pi}{2}$で発散するので、$t_1 < \frac{\pi}{2} < \pi$となる。

$\tan \pi = 0$であり、$t_2$は$\pi$より少し大きい値となる。

よって、$t_1 < \pi < t_2$。

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{t\to\infty} \theta(t) = \frac{\pi}{2}$

(2) $t_1<\pi<t_2$