与えられたべき級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^2}{(2n)!} x^{2n-1}$ の収束半径を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられたべき級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^2}{(2n)!} x^{2n-1}$ の収束半径を求める問題です。

2. 解き方の手順

べき級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^{2n-1}$ の収束半径 $R$ は、比判定法を用いることで求めることができます。

$a_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!}$ とおきます。

まず、$\frac{a_{n+1}}{a_n}$ を計算します。

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{((n+1)!)^2}{(2(n+1))!} \cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2} = \frac{(n+1)^2 (n!)^2}{(2n+2)!} \cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2} = \frac{(n+1)^2 (2n)!}{(2n+2)(2n+1)(2n)!} = \frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} = \frac{(n+1)^2}{2(n+1)(2n+1)} = \frac{n+1}{2(2n+1)} = \frac{n+1}{4n+2}$

次に、$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$ を計算します。

$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{4n+2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n}}{4 + \frac{2}{n}} = \frac{1}{4}$

ここで、$y = x^2$ とおくと、与えられた級数は $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^{2n-1} = \sum_{n=1}^{\infty} a_n y^{n-\frac{1}{2}} = \sum_{n=1}^{\infty} a_n y^{n} y^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{y}} \sum_{n=1}^{\infty} a_n y^{n}$

となります。

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n y^{n}$ の収束半径を $R_y$ とすると、

$\frac{1}{R_y} = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{1}{4}$

より、$R_y = 4$

したがって、$|y| < 4$ で収束し、$|y| > 4$ で発散します。

$y = x^2$ なので、$|x^2| < 4$ つまり $|x| < 2$ で収束し、$|x^2| > 4$ つまり $|x| > 2$ で発散します。

よって、与えられた級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^2}{(2n)!} x^{2n-1}$ は $|x| < 2$ で収束し、$|x| > 2$ で発散します。

したがって、収束半径は $R = 2$ となります。

3. 最終的な答え

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