与えられた2つの曲線について、指定された区間における弧長を計算する問題です。 (1) サイクロイド $x = 2(t - \sin t)$, $y = 2(1 - \cos t)$ ($0 \le t \le 2\pi$)の弧長を求めます。 (2) 曲線 $y = x\sqrt{x}$ ($0 \le x \le 5$)の弧長を求めます。

1. 問題の内容

与えられた2つの曲線について、指定された区間における弧長を計算する問題です。

(1) サイクロイド $x = 2(t - \sin t)$, $y = 2(1 - \cos t)$ ($0 \le t \le 2\pi$)の弧長を求めます。

(2) 曲線 $y = x\sqrt{x}$ ($0 \le x \le 5$)の弧長を求めます。

2. 解き方の手順

(1) サイクロイドの弧長

パラメータ表示された曲線 $x = f(t)$, $y = g(t)$ の $a \le t \le b$ における弧長 $L$ は、

$$L = \int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt$$

で与えられます。

まず、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を計算します。

$\frac{dx}{dt} = 2(1 - \cos t)$, $\frac{dy}{dt} = 2\sin t$

これらを弧長の公式に代入します。

$$L = \int_0^{2\pi} \sqrt{[2(1 - \cos t)]^2 + (2\sin t)^2} dt$$

$$= \int_0^{2\pi} \sqrt{4(1 - 2\cos t + \cos^2 t) + 4\sin^2 t} dt$$

$$= \int_0^{2\pi} \sqrt{4(1 - 2\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t)} dt$$

$\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ を用いると、

$$= \int_0^{2\pi} \sqrt{4(2 - 2\cos t)} dt = \int_0^{2\pi} \sqrt{8(1 - \cos t)} dt$$

ここで、$1 - \cos t = 2\sin^2 \frac{t}{2}$ を用いると、

$$= \int_0^{2\pi} \sqrt{16\sin^2 \frac{t}{2}} dt = \int_0^{2\pi} 4\left|\sin \frac{t}{2}\right| dt$$

$0 \le t \le 2\pi$ では $\sin \frac{t}{2} \ge 0$ なので、

$$= \int_0^{2\pi} 4\sin \frac{t}{2} dt = \left[-8\cos \frac{t}{2}\right]_0^{2\pi} = -8(\cos \pi - \cos 0) = -8(-1 - 1) = 16$$

(2) 曲線 $y = x\sqrt{x} = x^{\frac{3}{2}}$ の弧長

$y = f(x)$ の $a \le x \le b$ における弧長 $L$ は、

$$L = \int_a^b \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} dx$$

で与えられます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$

これらを弧長の公式に代入します。

$$L = \int_0^5 \sqrt{1 + \left(\frac{3}{2}\sqrt{x}\right)^2} dx = \int_0^5 \sqrt{1 + \frac{9}{4}x} dx$$

$u = 1 + \frac{9}{4}x$ とおくと、$\frac{du}{dx} = \frac{9}{4}$ より $dx = \frac{4}{9}du$

$x = 0$ のとき $u = 1$, $x = 5$ のとき $u = 1 + \frac{9}{4}(5) = 1 + \frac{45}{4} = \frac{49}{4}$

$$L = \int_1^{\frac{49}{4}} \sqrt{u} \cdot \frac{4}{9} du = \frac{4}{9} \int_1^{\frac{49}{4}} u^{\frac{1}{2}} du = \frac{4}{9} \left[\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}\right]_1^{\frac{49}{4}}$$

$$= \frac{8}{27} \left[u^{\frac{3}{2}}\right]_1^{\frac{49}{4}} = \frac{8}{27} \left[\left(\frac{49}{4}\right)^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}}\right] = \frac{8}{27} \left[\left(\frac{7}{2}\right)^3 - 1\right] = \frac{8}{27} \left[\frac{343}{8} - 1\right]$$

$$= \frac{8}{27} \left[\frac{335}{8}\right] = \frac{335}{27}$$

3. 最終的な答え

(1) 16

(2) $\frac{335}{27}$