平面上を動く点Pの時刻 $t$ における座標が $x = \log t$, $y = \frac{1}{2}(t + \frac{1}{t})$ であるとき、$t = 1$ から $t = 3$ までに点Pが動く道のり $l$ を求めよ。

1. 問題の内容

平面上を動く点Pの時刻 $t$ における座標が $x = \log t$, $y = \frac{1}{2}(t + \frac{1}{t})$ であるとき、$t = 1$ から $t = 3$ までに点Pが動く道のり $l$ を求めよ。

2. 解き方の手順

道のり $l$ は次の積分で求めることができます。

$l = \int_{1}^{3} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt$

まず、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を計算します。

$x = \log t$ なので、

$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{t}$

次に、$y = \frac{1}{2}(t + \frac{1}{t})$ なので、

$\frac{dy}{dt} = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{t^2})$

$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2$ を計算します。

$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 = (\frac{1}{t})^2 + (\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{t^2}))^2$

$= \frac{1}{t^2} + \frac{1}{4}(1 - \frac{2}{t^2} + \frac{1}{t^4})$

$= \frac{1}{t^2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{2t^2} + \frac{1}{4t^4}$

$= \frac{1}{4} + \frac{1}{2t^2} + \frac{1}{4t^4}$

$= \frac{1}{4}(1 + \frac{2}{t^2} + \frac{1}{t^4})$

$= \frac{1}{4}(1 + \frac{1}{t^2})^2$

したがって、

$\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} = \sqrt{\frac{1}{4}(1 + \frac{1}{t^2})^2} = \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{t^2})$

よって、

$l = \int_{1}^{3} \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{t^2}) dt = \frac{1}{2} \int_{1}^{3} (1 + \frac{1}{t^2}) dt$

$= \frac{1}{2} [t - \frac{1}{t}]_{1}^{3} = \frac{1}{2} [(3 - \frac{1}{3}) - (1 - 1)]$

$= \frac{1}{2} (3 - \frac{1}{3}) = \frac{1}{2} (\frac{9 - 1}{3}) = \frac{1}{2} (\frac{8}{3}) = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}$