与えられた問題は以下の6つの小問から構成されています。 1. $y = \arccos x$ の $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ における接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

与えられた問題は以下の6つの小問から構成されています。

1. $y = \arccos x$ の $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ における接線の方程式を求める。

2. $4x^2 + 3xy + y^2 = 4$ で定義される曲線 C 上の点 $(0, 2)$ における接線の方程式と、$y$ の値が最大となる時の $(x, y)$ の値を求める。

3. 極限 $\lim_{x \to 2} \frac{x^x - 4}{x - 2}$ を求める。

4. $f(x) = e^{-x^2}$ について、$f''(x)$ と $f'''(x)$ を求める。

5. $f(x) = e^x \sin x$ の $x = 0$ での3次までの展開を求める。

6. $f(x) = \arctan(1 + x)$ の $x = 0$ での2次までの展開を求める。

2. 解き方の手順

1. $y = \arccos x$ の接線の方程式

* $y' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

* $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、$y' = -\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3}{4}}} = -\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}}} = -2$

* $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、$y = \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5}{6}\pi$

* 接線の方程式は $y - \frac{5}{6}\pi = -2(x + \frac{\sqrt{3}}{2})$

* $y = -2(x + \frac{\sqrt{3}}{2}) + \frac{5}{6}\pi$

2. $4x^2 + 3xy + y^2 = 4$ の接線の方程式

* 両辺を $x$ で微分する。$8x + 3y + 3x\frac{dy}{dx} + 2y\frac{dy}{dx} = 0$

* $\frac{dy}{dx} = -\frac{8x + 3y}{3x + 2y}$

* $(x, y) = (0, 2)$ のとき、$\frac{dy}{dx} = -\frac{8(0) + 3(2)}{3(0) + 2(2)} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$

* 接線の方程式は $y - 2 = -\frac{3}{2}(x - 0)$

* $y = -\frac{3}{2}x + 2$

* $y$ が最大となるとき、$dy/dx = 0$。つまり、$8x + 3y = 0$。したがって、$y = -\frac{8}{3}x$。

* $4x^2 + 3x(-\frac{8}{3}x) + (-\frac{8}{3}x)^2 = 4$

* $4x^2 - 8x^2 + \frac{64}{9}x^2 = 4$

* $\frac{4}{9}x^2 = 4$

* $x^2 = 9$

* $x = \pm 3$

* $x = 3$ のとき、$y = -8$

* $x = -3$ のとき、$y = 8$

* $y$ が最大になるのは、$x = -3$、$y = 8$ のときである。ただし、問題文の形式に合わせると、$x = 3$としたときに$x = (-3)\sqrt{1}$、$y = 8\sqrt{1}$なので、形式に沿って修正する必要がある。

3. $\lim_{x \to 2} \frac{x^x - 4}{x - 2}$

* $f(x) = x^x$ とすると、$f'(x) = x^x(\ln x + 1)$

* $\lim_{x \to 2} \frac{x^x - 4}{x - 2} = f'(2) = 2^2(\ln 2 + 1) = 4\ln 2 + 4$

4. $f(x) = e^{-x^2}$

* $f'(x) = -2xe^{-x^2}$

* $f''(x) = -2e^{-x^2} + (-2x)(-2x)e^{-x^2} = (4x^2 - 2)e^{-x^2}$

* $f'''(x) = 8xe^{-x^2} + (4x^2 - 2)(-2x)e^{-x^2} = (8x - 8x^3 + 4x)e^{-x^2} = (-8x^3 + 12x)e^{-x^2}$

5. $f(x) = e^x \sin x$ の展開

* $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \dots$

* $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \dots$

* $e^x \sin x = (1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \dots)(x - \frac{x^3}{6} + \dots) = x + x^2 + \frac{x^3}{2} - \frac{x^3}{6} + \dots = x + x^2 + \frac{1}{3}x^3 + \dots$

6. $f(x) = \arctan(1 + x)$ の展開

* $f(0) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$

* $f'(x) = \frac{1}{1 + (1 + x)^2} = \frac{1}{2 + 2x + x^2}$

* $f'(0) = \frac{1}{2}$

* $f''(x) = -\frac{2 + 2x}{(2 + 2x + x^2)^2}$

* $f''(0) = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

* $\arctan(1 + x) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}x^2 + \dots$

3. 最終的な答え

1. ① -2, ② 5/6

2. ③ -3/2, ④ 2, ⑤ -3, ⑥ 8

3. ⑦ 4, ⑧ 4

4. ⑨ 4, ⑩ 2, ⑪ -8, ⑫ 12

5. ⑬ 1/3

6. ⑭ 1/2, ⑮ 1/4