## 問題の解答

解析学積分不定積分三角関数指数関数
2025/7/17
## 問題の解答
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1. 問題の内容

与えられた6つの不定積分を計算します。
(1) (cosx2sinx)dx\int (\cos x - 2\sin x) dx
(2) 2cos3x1cos2xdx\int \frac{2\cos^3 x - 1}{\cos^2 x} dx
(3) dθsin2θ1\int \frac{d\theta}{\sin^2 \theta - 1}
(4) (2tanθ)cosθdθ\int (2 - \tan \theta) \cos \theta d\theta
(5) 5xdx\int 5^x dx
(6) (3x2ex)dx\int (3^x - 2e^x) dx
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2. 解き方の手順

(1) (cosx2sinx)dx\int (\cos x - 2\sin x) dx
cosx\cos x の積分は sinx\sin x であり、sinx\sin x の積分は cosx-\cos x であることを利用します。
(cosx2sinx)dx=cosxdx2sinxdx=sinx2(cosx)+C=sinx+2cosx+C\int (\cos x - 2\sin x) dx = \int \cos x dx - 2\int \sin x dx = \sin x - 2(-\cos x) + C = \sin x + 2\cos x + C
(2) 2cos3x1cos2xdx\int \frac{2\cos^3 x - 1}{\cos^2 x} dx
被積分関数を分解します。
2cos3x1cos2xdx=(2cosx1cos2x)dx=2cosxdxsec2xdx=2sinxtanx+C\int \frac{2\cos^3 x - 1}{\cos^2 x} dx = \int \left(2\cos x - \frac{1}{\cos^2 x}\right) dx = 2\int \cos x dx - \int \sec^2 x dx = 2\sin x - \tan x + C
(3) dθsin2θ1\int \frac{d\theta}{\sin^2 \theta - 1}
sin2θ+cos2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 より、sin2θ1=cos2θ\sin^2 \theta - 1 = -\cos^2 \theta なので、
dθsin2θ1=dθcos2θ=sec2θdθ=tanθ+C\int \frac{d\theta}{\sin^2 \theta - 1} = \int \frac{d\theta}{-\cos^2 \theta} = -\int \sec^2 \theta d\theta = -\tan \theta + C
(4) (2tanθ)cosθdθ\int (2 - \tan \theta) \cos \theta d\theta
tanθ=sinθcosθ\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} を利用します。
(2tanθ)cosθdθ=(2cosθsinθ)dθ=2cosθdθsinθdθ=2sinθ(cosθ)+C=2sinθ+cosθ+C\int (2 - \tan \theta) \cos \theta d\theta = \int (2\cos \theta - \sin \theta) d\theta = 2\int \cos \theta d\theta - \int \sin \theta d\theta = 2\sin \theta - (-\cos \theta) + C = 2\sin \theta + \cos \theta + C
(5) 5xdx\int 5^x dx
axa^x の積分は axlna\frac{a^x}{\ln a} であることを利用します。
5xdx=5xln5+C\int 5^x dx = \frac{5^x}{\ln 5} + C
(6) (3x2ex)dx\int (3^x - 2e^x) dx
axa^x の積分は axlna\frac{a^x}{\ln a} であり、exe^x の積分は exe^x であることを利用します。
(3x2ex)dx=3xdx2exdx=3xln32ex+C\int (3^x - 2e^x) dx = \int 3^x dx - 2\int e^x dx = \frac{3^x}{\ln 3} - 2e^x + C
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3. 最終的な答え

(1) sinx+2cosx+C\sin x + 2\cos x + C
(2) 2sinxtanx+C2\sin x - \tan x + C
(3) tanθ+C-\tan \theta + C
(4) 2sinθ+cosθ+C2\sin \theta + \cos \theta + C
(5) 5xln5+C\frac{5^x}{\ln 5} + C
(6) 3xln32ex+C\frac{3^x}{\ln 3} - 2e^x + C

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