関数 $y = x(x^2 - 4)^{\frac{2}{3}}$ を微分せよ。

はい、承知いたしました。どの問題の微分を解きますか？特に指定がない場合は、(1)から順に解いていきます。ここでは、(1)の問題を解きます。

1. 問題の内容

関数 $y = x(x^2 - 4)^{\frac{2}{3}}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

積の微分法則と合成関数の微分法則を使います。

積の微分法則は $(uv)' = u'v + uv'$ です。

合成関数の微分法則は $(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$ です。

まず、$u = x$ と $v = (x^2 - 4)^{\frac{2}{3}}$ とおきます。

すると、$u' = 1$ です。

次に、$v' = \frac{2}{3}(x^2 - 4)^{\frac{2}{3}-1}(2x) = \frac{4x}{3}(x^2 - 4)^{-\frac{1}{3}}$ となります。

したがって、$y' = u'v + uv' = 1 \cdot (x^2 - 4)^{\frac{2}{3}} + x \cdot \frac{4x}{3}(x^2 - 4)^{-\frac{1}{3}} = (x^2 - 4)^{\frac{2}{3}} + \frac{4x^2}{3}(x^2 - 4)^{-\frac{1}{3}}$ となります。

共通因子 $(x^2 - 4)^{-\frac{1}{3}}$ でくくると、

$y' = (x^2 - 4)^{-\frac{1}{3}}\left((x^2 - 4) + \frac{4x^2}{3}\right) = (x^2 - 4)^{-\frac{1}{3}}\left(\frac{3(x^2 - 4) + 4x^2}{3}\right) = (x^2 - 4)^{-\frac{1}{3}}\left(\frac{3x^2 - 12 + 4x^2}{3}\right) = \frac{7x^2 - 12}{3(x^2 - 4)^{\frac{1}{3}}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{7x^2 - 12}{3(x^2 - 4)^{\frac{1}{3}}}$