ライプニッツの公式を用いて、関数 $(x^2 - 3x + 1)e^x$ の3階微分を求める。

1. 問題の内容

ライプニッツの公式を用いて、関数 $(x^2 - 3x + 1)e^x$ の3階微分を求める。

2. 解き方の手順

ライプニッツの公式は、2つの関数の積のn階微分を求めるために使用される。この問題では、関数 $u(x) = x^2 - 3x + 1$ と $v(x) = e^x$ の積の3階微分を求める。ライプニッツの公式は次の通りである。

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(n-k)}v^{(k)}$

ここで、$\binom{n}{k}$ は二項係数である。今回の問題では、$n=3$なので、公式は次のようになる。

$(uv)^{(3)} = \binom{3}{0} u^{(3)}v^{(0)} + \binom{3}{1} u^{(2)}v^{(1)} + \binom{3}{2} u^{(1)}v^{(2)} + \binom{3}{3} u^{(0)}v^{(3)}$

各項を計算する。

まず、$u(x)$ の微分を計算する。

$u(x) = x^2 - 3x + 1$

$u'(x) = 2x - 3$

$u''(x) = 2$

$u'''(x) = 0$

次に、$v(x)$ の微分を計算する。

$v(x) = e^x$

$v'(x) = e^x$

$v''(x) = e^x$

$v'''(x) = e^x$

二項係数を計算する。

$\binom{3}{0} = 1$

$\binom{3}{1} = 3$

$\binom{3}{2} = 3$

$\binom{3}{3} = 1$

ライプニッツの公式に代入する。

$(uv)^{(3)} = 1 \cdot 0 \cdot e^x + 3 \cdot 2 \cdot e^x + 3 \cdot (2x-3) \cdot e^x + 1 \cdot (x^2 - 3x + 1) \cdot e^x$

$(uv)^{(3)} = 0 + 6e^x + (6x - 9)e^x + (x^2 - 3x + 1)e^x$

$(uv)^{(3)} = (x^2 + 3x - 2)e^x$

3. 最終的な答え

$(x^2 + 3x - 2)e^x$