1. 時刻 $t$ における位置が $x(t) = \cos(t^2)$ である物体の速度と加速度を求める。

1. 問題の内容

1. 時刻 $t$ における位置が $x(t) = \cos(t^2)$ である物体の速度と加速度を求める。

2. 時刻 $t$ における中心角が $\theta = t^2$ で与えられるような、半径3の円運動の速度、加速度、速さ、加速度の大きさを求める。

2. 解き方の手順

問題1:

* 速度は位置の時間微分で求められる。$v(t) = \frac{dx(t)}{dt}$

$\cos(t^2)$ を $t$ で微分するには合成関数の微分を使う。$\frac{d}{dt} \cos(t^2) = -\sin(t^2) \cdot 2t$

よって、$v(t) = -2t\sin(t^2)$

* 加速度は速度の時間微分で求められる。$a(t) = \frac{dv(t)}{dt}$

$-2t\sin(t^2)$ を $t$ で微分するには積の微分と合成関数の微分を使う。$\frac{d}{dt}(-2t\sin(t^2)) = -2\sin(t^2) -2t \cos(t^2) \cdot 2t = -2\sin(t^2) - 4t^2\cos(t^2)$

よって、$a(t) = -2\sin(t^2) - 4t^2\cos(t^2)$

問題2:

* 半径 $r$ の円運動における位置ベクトルは $\vec{r}(t) = (r\cos(\theta(t)), r\sin(\theta(t)))$ で与えられる。この問題では、$r=3$ かつ $\theta(t) = t^2$ であるから、$\vec{r}(t) = (3\cos(t^2), 3\sin(t^2))$.

* 速度は位置ベクトルの時間微分で求められる。$\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt}$.

$3\cos(t^2)$ を $t$ で微分すると $-6t\sin(t^2)$、$3\sin(t^2)$ を $t$ で微分すると $6t\cos(t^2)$.

よって、$\vec{v}(t) = (-6t\sin(t^2), 6t\cos(t^2))$.

* 加速度は速度ベクトルの時間微分で求められる。$\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}(t)}{dt}$.

$-6t\sin(t^2)$ を $t$ で微分すると $-6\sin(t^2) - 12t^2\cos(t^2)$、$6t\cos(t^2)$ を $t$ で微分すると $6\cos(t^2) - 12t^2\sin(t^2)$.

よって、$\vec{a}(t) = (-6\sin(t^2) - 12t^2\cos(t^2), 6\cos(t^2) - 12t^2\sin(t^2))$.

* 速さは速度ベクトルの大きさで求められる。$|\vec{v}(t)| = \sqrt{(-6t\sin(t^2))^2 + (6t\cos(t^2))^2} = \sqrt{36t^2\sin^2(t^2) + 36t^2\cos^2(t^2)} = \sqrt{36t^2(\sin^2(t^2) + \cos^2(t^2))} = \sqrt{36t^2} = 6|t|$.

* 加速度の大きさは加速度ベクトルの大きさで求められる。$|\vec{a}(t)| = \sqrt{(-6\sin(t^2) - 12t^2\cos(t^2))^2 + (6\cos(t^2) - 12t^2\sin(t^2))^2} = \sqrt{36\sin^2(t^2) + 144t^2\sin(t^2)\cos(t^2) + 144t^4\cos^2(t^2) + 36\cos^2(t^2) - 144t^2\sin(t^2)\cos(t^2) + 144t^4\sin^2(t^2)} = \sqrt{36(\sin^2(t^2) + \cos^2(t^2)) + 144t^4(\sin^2(t^2) + \cos^2(t^2))} = \sqrt{36 + 144t^4} = 6\sqrt{1 + 4t^4}$.

3. 最終的な答え

問題1:

* 速度: $v(t) = -2t\sin(t^2)$

* 加速度: $a(t) = -2\sin(t^2) - 4t^2\cos(t^2)$

問題2:

* 速度: $\vec{v}(t) = (-6t\sin(t^2), 6t\cos(t^2))$

* 加速度: $\vec{a}(t) = (-6\sin(t^2) - 12t^2\cos(t^2), 6\cos(t^2) - 12t^2\sin(t^2))$

* 速さ: $|\vec{v}(t)| = 6|t|$

* 加速度の大きさ: $|\vec{a}(t)| = 6\sqrt{1 + 4t^4}$