与えられた積分を計算します。積分は、 $\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x^2 + x + 1}$ です。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。積分は、

$\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x^2 + x + 1}$

です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $\frac{1}{x^2 + x + 1}$ を部分分数分解することを考えますが、これは実数範囲ではできません。そこで、分母を平方完成します。

$x^2 + x + 1 = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}}$

ここで、$u = x + \frac{1}{2}$ と置換すると、$du = dx$ となり、積分の範囲は $\frac{3}{2}$ から $\infty$ に変わります。

$\int_{\frac{3}{2}}^{\infty} \frac{du}{u^2 + \frac{3}{4}}$

次に、$u = \frac{\sqrt{3}}{2} \tan{\theta}$ と置換します。このとき、$du = \frac{\sqrt{3}}{2} \sec^2{\theta} d\theta$ となり、$u^2 + \frac{3}{4} = \frac{3}{4} \tan^2{\theta} + \frac{3}{4} = \frac{3}{4} \sec^2{\theta}$ となります。

積分範囲は $u = \frac{3}{2}$ のとき $\tan{\theta} = \frac{u}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ なので、$\theta = \arctan{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{3}$ となり、$u = \infty$ のとき $\theta = \frac{\pi}{2}$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \sec^2{\theta}}{\frac{3}{4} \sec^2{\theta}} d\theta = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{3} d\theta = \frac{2\sqrt{3}}{3} \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} d\theta$

$= \frac{2\sqrt{3}}{3} [\theta]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} (\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}) = \frac{2\sqrt{3}}{3} (\frac{3\pi - 2\pi}{6}) = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}\pi}{9}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{3}\pi}{9}$