積分 $I_n = \int_0^1 (\log x)^n dx$ が与えられている。以下の問いに答える。 1. 極限 $\lim_{x \to 0+} x(\log x)^n$ を求める。$n=1, 2$ の場合を示し、$n$ の場合を数学的帰納法で示す。

1. 問題の内容

積分 $I_n = \int_0^1 (\log x)^n dx$ が与えられている。以下の問いに答える。

1. 極限 $\lim_{x \to 0+} x(\log x)^n$ を求める。$n=1, 2$ の場合を示し、$n$ の場合を数学的帰納法で示す。

2. 漸化式 $I_{n+1} = -(n+1)I_n$ を示す。

3. $I_0, I_1, I_2$ を求める。

4. $I_n$ を求める。

2. 解き方の手順

1) (i) $\lim_{x \to 0+} x \log x$ を求める。

$x = e^{-t}$ とおくと、$x \to 0+$ のとき $t \to \infty$ となる。

よって、$\lim_{x \to 0+} x \log x = \lim_{t \to \infty} e^{-t}(-t) = \lim_{t \to \infty} -\frac{t}{e^t}$ となる。

ロピタルの定理より、$\lim_{t \to \infty} -\frac{t}{e^t} = \lim_{t \to \infty} -\frac{1}{e^t} = 0$。

(ii) $\lim_{x \to 0+} x (\log x)^2$ を求める。

$x = e^{-t}$ とおくと、$x \to 0+$ のとき $t \to \infty$ となる。

よって、$\lim_{x \to 0+} x (\log x)^2 = \lim_{t \to \infty} e^{-t}(-t)^2 = \lim_{t \to \infty} \frac{t^2}{e^t}$ となる。

ロピタルの定理より、$\lim_{t \to \infty} \frac{t^2}{e^t} = \lim_{t \to \infty} \frac{2t}{e^t} = \lim_{t \to \infty} \frac{2}{e^t} = 0$。

(iii) $\lim_{x \to 0+} x (\log x)^n = 0$ を数学的帰納法で示す。

$n=1$ のとき、(i) より $\lim_{x \to 0+} x \log x = 0$ なので成り立つ。

$n=k$ のとき、$\lim_{x \to 0+} x (\log x)^k = 0$ が成り立つと仮定する。

$n=k+1$ のとき、$\lim_{x \to 0+} x (\log x)^{k+1}$ を考える。

$x = e^{-t}$ とおくと、$x \to 0+$ のとき $t \to \infty$ となる。

よって、$\lim_{x \to 0+} x (\log x)^{k+1} = \lim_{t \to \infty} e^{-t} (-t)^{k+1} = \lim_{t \to \infty} (-1)^{k+1} \frac{t^{k+1}}{e^t}$ となる。

ロピタルの定理を $k+1$ 回適用すると、

$\lim_{t \to \infty} \frac{t^{k+1}}{e^t} = \lim_{t \to \infty} \frac{(k+1)t^k}{e^t} = \cdots = \lim_{t \to \infty} \frac{(k+1)!}{e^t} = 0$。

よって、$\lim_{x \to 0+} x (\log x)^{k+1} = 0$。

したがって、数学的帰納法により、$\lim_{x \to 0+} x (\log x)^n = 0$ が成り立つ。

2) $I_{n+1} = \int_0^1 (\log x)^{n+1} dx$ に対して、部分積分を行う。

$u = (\log x)^{n+1}$, $dv = dx$ とすると、$du = (n+1)(\log x)^n \frac{1}{x} dx$, $v = x$ となる。

よって、$I_{n+1} = [x(\log x)^{n+1}]_0^1 - \int_0^1 x (n+1) (\log x)^n \frac{1}{x} dx = [x(\log x)^{n+1}]_0^1 - (n+1) \int_0^1 (\log x)^n dx$ となる。

$\lim_{x \to 0+} x(\log x)^{n+1} = 0$ であるから、$[x(\log x)^{n+1}]_0^1 = 1(\log 1)^{n+1} - 0 = 0$。

したがって、$I_{n+1} = -(n+1) \int_0^1 (\log x)^n dx = -(n+1) I_n$ が示された。

3) $I_0, I_1, I_2$ を求める。

$I_0 = \int_0^1 (\log x)^0 dx = \int_0^1 1 dx = [x]_0^1 = 1$。

$I_1 = -(1)I_0 = -1$。

$I_2 = -(2)I_1 = -(2)(-1) = 2$。

4) $I_n$ を求める。

漸化式 $I_{n+1} = -(n+1)I_n$ より、

$I_n = (-1)^n n! I_0$。

$I_0 = 1$ であるから、$I_n = (-1)^n n!$。

3. 最終的な答え

1)

(i) $\lim_{x \to 0+} x \log x = 0$

(ii) $\lim_{x \to 0+} x (\log x)^2 = 0$

(iii) $\lim_{x \to 0+} x (\log x)^n = 0$

2)

$I_{n+1} = -(n+1) I_n$

3)

$I_0 = 1$

$I_1 = -1$

$I_2 = 2$

4)

$I_n = (-1)^n n!$