$m, n \in \mathbb{N}$ (自然数)とするとき、$B(m,n) = \frac{P(m)P(n)}{P(m+n)}$ を示す問題です。ここで、$P(x)$はガンマ関数 $\Gamma(x)$を表していると解釈します。したがって、示すべき式は $B(m,n) = \frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}$ となります。

1. 問題の内容

$m, n \in \mathbb{N}$ (自然数)とするとき、$B(m,n) = \frac{P(m)P(n)}{P(m+n)}$ を示す問題です。ここで、$P(x)$はガンマ関数 $\Gamma(x)$を表していると解釈します。したがって、示すべき式は

$B(m,n) = \frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}$

となります。

2. 解き方の手順

ベータ関数 $B(m,n)$ の定義式と、ガンマ関数の積分表示を用いて式を導きます。

ベータ関数の定義は以下の通りです。

$B(m, n) = \int_0^1 t^{m-1}(1-t)^{n-1} dt$

ガンマ関数の積分表示は以下の通りです。

$\Gamma(z) = \int_0^\infty x^{z-1}e^{-x} dx$

したがって、

$\Gamma(m) = \int_0^\infty x^{m-1}e^{-x} dx$

$\Gamma(n) = \int_0^\infty y^{n-1}e^{-y} dy$

$\Gamma(m+n) = \int_0^\infty z^{m+n-1}e^{-z} dz$

ここで、ベータ関数とガンマ関数の関係式を用います。

$B(m, n) = \frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}$

この関係式は証明できますが、ここでは既知のものとして使います。

3. 最終的な答え

問題文の通り、$B(m,n) = \frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}$ が示されました。