次の極限を求めます。 $\lim_{x \to \infty} x \arctan(\frac{1}{x})$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x \to \infty} x \arctan(\frac{1}{x})$

2. 解き方の手順

$t = \frac{1}{x}$ と置換すると、$x \to \infty$ のとき $t \to 0$ なので、

$\lim_{x \to \infty} x \arctan(\frac{1}{x}) = \lim_{t \to 0} \frac{\arctan(t)}{t}$

ここで、ロピタルの定理を用いると、

$\lim_{t \to 0} \frac{\arctan(t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{1+t^2}}{1} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{1+t^2}$

$t \to 0$ のとき、$1+t^2 \to 1$ なので、

$\lim_{t \to 0} \frac{1}{1+t^2} = \frac{1}{1} = 1$

よって、

$\lim_{x \to \infty} x \arctan(\frac{1}{x}) = 1$

あるいは、$\arctan(t)$ の $t=0$ におけるテイラー展開を考えると、

$\arctan(t) = t - \frac{t^3}{3} + \frac{t^5}{5} - \cdots$

であるから、

$\frac{\arctan(t)}{t} = 1 - \frac{t^2}{3} + \frac{t^4}{5} - \cdots$

よって、$t \to 0$ のとき、

$\lim_{t \to 0} \frac{\arctan(t)}{t} = 1$

3. 最終的な答え

1