$x > 0$ のとき、不等式 $x - \frac{x^2}{2} < \log(1+x)$ が成り立つことを証明します。

1. 問題の内容

$x > 0$ のとき、不等式 $x - \frac{x^2}{2} < \log(1+x)$ が成り立つことを証明します。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ を次のように定義します。

$f(x) = \log(1+x) - x + \frac{x^2}{2}$

この関数が $x > 0$ において $f(x) > 0$ となることを示すことが目標です。

まず、$f(0)$ を計算します。

$f(0) = \log(1+0) - 0 + \frac{0^2}{2} = \log(1) = 0$

次に、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = \frac{1}{1+x} - 1 + x = \frac{1 - (1+x) + x(1+x)}{1+x} = \frac{1 - 1 - x + x + x^2}{1+x} = \frac{x^2}{1+x}$

$x > 0$ のとき、$f'(x) = \frac{x^2}{1+x} > 0$ です。したがって、$f(x)$ は $x > 0$ において単調増加関数です。

$f(0) = 0$ であり、$f(x)$ は $x > 0$ において単調増加関数なので、$x > 0$ ならば $f(x) > f(0) = 0$ が成り立ちます。

したがって、$f(x) = \log(1+x) - x + \frac{x^2}{2} > 0$ となり、

$\log(1+x) > x - \frac{x^2}{2}$

が証明されました。

3. 最終的な答え

$x > 0$ のとき、不等式 $x - \frac{x^2}{2} < \log(1+x)$ が成り立つ。