与えられた2つの級数が条件収束することを示す問題です。条件収束とは、級数自体は収束するが、絶対値をとった級数は発散することを意味します。 (1) $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{n}{n^2 + 1}$ (2) $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n$

1. 問題の内容

与えられた2つの級数が条件収束することを示す問題です。条件収束とは、級数自体は収束するが、絶対値をとった級数は発散することを意味します。

(1) $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{n}{n^2 + 1}$

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n$

2. 解き方の手順

(1) の級数について考えます。

まず、交代級数であることから、交代級数判定法を適用することを考えます。

$a_n = \frac{n}{n^2 + 1}$ とおくと、$a_n > 0$ です。

次に、$a_n$ が単調減少であることを示す必要があります。$f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ とすると、$f'(x) = \frac{(x^2 + 1) - x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$ となります。$x > 1$ のとき、$f'(x) < 0$ であるから、$a_n$ は単調減少です。

また、$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2 + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1/n}{1 + 1/n^2} = 0$ です。

したがって、交代級数判定法より、$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{n}{n^2 + 1}$ は収束します。

次に、絶対値をとった級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \left| (-1)^{n-1} \frac{n}{n^2 + 1} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2 + 1}$ が発散することを示します。

$\frac{n}{n^2 + 1}$ と $\frac{1}{n}$ を比較します。$\lim_{n \to \infty} \frac{n/(n^2 + 1)}{1/n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + 1} = 1$ であるから、比較判定法より、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2 + 1}$ と $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ の収束・発散は一致します。$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ は発散するので、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2 + 1}$ も発散します。

したがって、$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{n}{n^2 + 1}$ は条件収束します。

(2) の級数について考えます。

$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n$ を考えると、部分和は $-1, 0, -1, 0, \dots$ となり、$\lim_{n \to \infty} (-1)^n$ は存在しないため、この級数は発散します。

3. 最終的な答え

(1) $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{n}{n^2 + 1}$ は条件収束する。

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n$ は発散する。