方程式 $x^2 = ae^x$ が異なる3個の実数解を持つように、定数 $a$ の値の範囲を定める問題です。

1. 問題の内容

方程式 $x^2 = ae^x$ が異なる3個の実数解を持つように、定数 $a$ の値の範囲を定める問題です。

2. 解き方の手順

$x^2 = ae^x$ を変形して、$a = x^2e^{-x}$ とします。

$f(x) = x^2e^{-x}$ とおき、$y=f(x)$ のグラフと $y=a$ のグラフが3つの異なる交点を持つような $a$ の範囲を求めます。

$f'(x) = 2xe^{-x} - x^2e^{-x} = x(2-x)e^{-x}$

$f'(x)=0$ となるのは、$x=0$ または $x=2$ のときです。

増減表は以下のようになります。

| x | ... | 0 | ... | 2 | ... |

|-------|-------|------|-------|-------|-------|

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - |

| f(x) | ↓ | 0 | ↑ | $\frac{4}{e^2}$ | ↓ |

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty$

$\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$

$f(0) = 0$

$f(2) = \frac{4}{e^2}$

したがって、$y=f(x)$ のグラフと $y=a$ のグラフが3つの異なる交点を持つのは、$0<a<\frac{4}{e^2}$ のときです。

3. 最終的な答え

$0 < a < \frac{4}{e^2}$