与えられた微分方程式は、3階の線形非同次微分方程式です。この方程式は次の形で表されます。 $y''' + y'' + y' + y = q(x)$ ここで、$y$ は $x$ の関数であり、$y'$, $y''$, $y'''$ はそれぞれ $y$ の1階、2階、3階の導関数です。また、$q(x)$ は $x$ の既知の関数です。この問題を解くには、まず同次方程式の一般解を求め、次に非同次方程式の特殊解を求める必要があります。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式は、3階の線形非同次微分方程式です。この方程式は次の形で表されます。

$y''' + y'' + y' + y = q(x)$

ここで、$y$ は $x$ の関数であり、$y'$, $y''$, $y'''$ はそれぞれ $y$ の1階、2階、3階の導関数です。また、$q(x)$ は $x$ の既知の関数です。この問題を解くには、まず同次方程式の一般解を求め、次に非同次方程式の特殊解を求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、同次方程式を考えます。

$y''' + y'' + y' + y = 0$

特性方程式は次のようになります。

$r^3 + r^2 + r + 1 = 0$

この方程式は次のように因数分解できます。

$(r+1)(r^2+1) = 0$

したがって、特性方程式の解は次のようになります。

$r_1 = -1$, $r_2 = i$, $r_3 = -i$

同次方程式の一般解は次のようになります。

$y_h(x) = c_1e^{-x} + c_2\cos(x) + c_3\sin(x)$

ここで、$c_1$, $c_2$, $c_3$ は任意定数です。

次に、非同次方程式の特殊解 $y_p(x)$ を求めます。

$y''' + y'' + y' + y = q(x)$

特殊解は $q(x)$ の形に依存します。$q(x)$ が与えられていないため、$y_p(x)$ を具体的に求めることはできません。

しかし、$y(x)$ の一般解は同次方程式の一般解と同次方程式の特殊解の和として与えられます。

$y(x) = y_h(x) + y_p(x)$

$y(x) = c_1e^{-x} + c_2\cos(x) + c_3\sin(x) + y_p(x)$

3. 最終的な答え

与えられた微分方程式の一般解は次のようになります。

$y(x) = c_1e^{-x} + c_2\cos(x) + c_3\sin(x) + y_p(x)$

ここで、$c_1$, $c_2$, $c_3$ は任意定数であり、$y_p(x)$ は非同次方程式の特殊解です。$q(x)$ が与えられていないため、$y_p(x)$ を具体的に決定することはできません。