区間 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上の連続関数全体のなすベクトル空間 $C^0([0, \frac{\pi}{2}])$ において、関数 $f, g \in C^0([0, \frac{\pi}{2}])$ に対し、内積を $(f, g) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x)g(x) dx$ で定義する。部分空間 $V$ を、$\{\sin x, \cos x\}$ で生成される $C^0([0, \frac{\pi}{2}])$ の部分空間とする。このとき、基底 $\{\sin x, \cos x\}$ に関するグラム行列を求めよ。
2025/7/17
1. 問題の内容
区間 上の連続関数全体のなすベクトル空間 において、関数 に対し、内積を で定義する。部分空間 を、 で生成される の部分空間とする。このとき、基底 に関するグラム行列を求めよ。
2. 解き方の手順
グラム行列は、基底ベクトルの内積を成分とする行列です。基底 に関するグラム行列は、
\begin{pmatrix}
(\sin x, \sin x) & (\sin x, \cos x) \\
(\cos x, \sin x) & (\cos x, \cos x)
\end{pmatrix}
で与えられます。これらの内積をそれぞれ計算します。
まず、 を計算します。
(\sin x, \sin x) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \sin x dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x dx
なので、
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \left[ \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{4} - 0 - (0 - 0) = \frac{\pi}{4}
次に、 を計算します。
(\sin x, \cos x) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cos x dx
なので、
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cos x dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} \sin 2x dx = \left[ -\frac{1}{4} \cos 2x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{1}{4} \cos \pi - \left( -\frac{1}{4} \cos 0 \right) = -\frac{1}{4} (-1) + \frac{1}{4} (1) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}
は と同じなので、
最後に、 を計算します。
(\cos x, \cos x) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \cos x dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x dx
なので、
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2x}{2} dx = \left[ \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{4} + 0 - (0 + 0) = \frac{\pi}{4}
よって、グラム行列は
\begin{pmatrix}
\frac{\pi}{4} & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & \frac{\pi}{4}
\end{pmatrix}
となります。
3. 最終的な答え
$\begin{pmatrix}
\frac{\pi}{4} & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & \frac{\pi}{4}
\end{pmatrix}$