問題は以下の通りです。 [1] 次の図形の体積を求めよ。 1. $y = \sqrt{x+1}$ ($1 \le x \le 4$) を $x$ 軸のまわりに回転してできる回転体。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

[1] 次の図形の体積を求めよ。

1. $y = \sqrt{x+1}$ ($1 \le x \le 4$) を $x$ 軸のまわりに回転してできる回転体。

2. $y = x - x^3$ と $x$ 軸で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに回転してできる回転体。

3. 放物線 $x = 16 - y^2$ と $y$ 軸で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに回転してできる回転体。

[2] 次の曲線の長さを求めよ。

1. $y = x^2$ ($0 \le x \le 1$)

2. $y = \log(\cos x)$ ($0 \le x \le \frac{\pi}{3}$)

2. 解き方の手順

[1]

1. 回転体の体積は、積分を使って計算できます。$y = f(x)$ を $x$ 軸のまわりに $a$ から $b$ まで回転させたときの体積 $V$ は、

$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$

で与えられます。

この公式を使って計算します。

$y = \sqrt{x+1}$ の場合、$f(x) = \sqrt{x+1}$, $a = 1$, $b = 4$ なので、

$V = \pi \int_1^4 (\sqrt{x+1})^2 dx = \pi \int_1^4 (x+1) dx = \pi [\frac{x^2}{2} + x]_1^4 = \pi [(\frac{16}{2} + 4) - (\frac{1}{2} + 1)] = \pi [(8+4) - (\frac{3}{2})] = \pi [12 - \frac{3}{2}] = \frac{21\pi}{2}$

2. $y = x - x^3$ と $x$ 軸で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めます。

まず、$x - x^3 = 0$ を解いて、交点を求めます。

$x(1 - x^2) = x(1-x)(1+x) = 0$ なので、$x = -1, 0, 1$ です。

区間 $[0, 1]$ で $x - x^3 \ge 0$ なので、

$V = \pi \int_0^1 (x - x^3)^2 dx = \pi \int_0^1 (x^2 - 2x^4 + x^6) dx = \pi [\frac{x^3}{3} - \frac{2x^5}{5} + \frac{x^7}{7}]_0^1 = \pi (\frac{1}{3} - \frac{2}{5} + \frac{1}{7}) = \pi (\frac{35 - 42 + 15}{105}) = \frac{8\pi}{105}$

3. $x = 16 - y^2$ と $y$ 軸で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めます。

$x$軸周りの回転体の体積を求めるには、$y$に関する積分で表す必要があります。

$x = 16 - y^2$ と $y$軸との交点は、$x=0$を代入すると、$16-y^2 = 0$、$y = \pm 4$となります。

$V = \pi \int_{-4}^4 y^2 dx = \pi \int_{-4}^4 y^2(16 - y^2)' dy$ではなく、$y$軸周りの回転体の体積を考えます。

今回は、$x$軸周りの回転体の体積を求めるので、$V = \int_{-4}^4 \pi y^2 dx = \pi \int_{-4}^4 y^2 dx$ ではなく、

$y$ 軸で囲まれた部分の回転体なので、$x=16-y^2$ を $y$ について $-4$ から $4$ まで積分します。

$V = \pi \int_{-4}^4 y^2 d(16 - y^2)$ではない。

$V = \pi \int_{-4}^4 (16 - y^2)^2 dy = 2\pi \int_0^4 (16 - y^2)^2 dy = 2\pi \int_0^4 (256 - 32y^2 + y^4) dy = 2\pi [256y - \frac{32y^3}{3} + \frac{y^5}{5}]_0^4 = 2\pi [256(4) - \frac{32(64)}{3} + \frac{1024}{5}] = 2\pi [1024 - \frac{2048}{3} + \frac{1024}{5}] = 2\pi \cdot 1024 [1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5}] = 2048\pi [\frac{15 - 10 + 3}{15}] = 2048\pi (\frac{8}{15}) = \frac{16384\pi}{15}$

[2]

1. 曲線の長さは、積分を使って計算できます。$y = f(x)$ の $a$ から $b$ までの長さ $L$ は、

$L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx$

で与えられます。

この公式を使って計算します。

$y = x^2$ の場合、$f(x) = x^2$, $a = 0$, $b = 1$ です。

$f'(x) = 2x$ なので、

$L = \int_0^1 \sqrt{1 + (2x)^2} dx = \int_0^1 \sqrt{1 + 4x^2} dx = 2\int_0^1 \sqrt{x^2 + \frac{1}{4}} dx$

$\int \sqrt{x^2+a} dx = \frac{1}{2} (x\sqrt{x^2 + a} + a \log|x+\sqrt{x^2+a}|)$

$L = 2\cdot \frac{1}{2} [x\sqrt{x^2 + \frac{1}{4}} + \frac{1}{4} \log|x+\sqrt{x^2+\frac{1}{4}}|]_0^1 = [\sqrt{1 + \frac{1}{4}} + \frac{1}{4} \log|1+\sqrt{1+\frac{1}{4}}| - (0 + \frac{1}{4} \log|\sqrt{\frac{1}{4}}|)] = \sqrt{\frac{5}{4}} + \frac{1}{4} \log(1 + \sqrt{\frac{5}{4}}) - \frac{1}{4} \log(\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{4} \log(\frac{2+\sqrt{5}}{2}) - \frac{1}{4}\log(\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{4} \log(2+\sqrt{5}) - \frac{1}{4}\log 2 + \frac{1}{4}\log 2 = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{4}\log(2+\sqrt{5})$

2. $y = \log(\cos x)$ の場合、$f(x) = \log(\cos x)$, $a = 0$, $b = \frac{\pi}{3}$ です。

$f'(x) = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x$ なので、

$L = \int_0^{\frac{\pi}{3}} \sqrt{1 + (-\tan x)^2} dx = \int_0^{\frac{\pi}{3}} \sqrt{1 + \tan^2 x} dx = \int_0^{\frac{\pi}{3}} \sqrt{\frac{1}{\cos^2 x}} dx = \int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\cos x} dx = \int_0^{\frac{\pi}{3}} \sec x dx$

$\int \sec x dx = \log|\sec x + \tan x|$

$L = [\log|\sec x + \tan x|]_0^{\frac{\pi}{3}} = \log|\sec \frac{\pi}{3} + \tan \frac{\pi}{3}| - \log|\sec 0 + \tan 0| = \log|2 + \sqrt{3}| - \log|1+0| = \log(2 + \sqrt{3})$

3. 最終的な答え

[1]

1. $\frac{21\pi}{2}$

2. $\frac{8\pi}{105}$

3. $\frac{16384\pi}{15}$

[2]

1. $\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{4}\log(2+\sqrt{5})$

2. $\log(2 + \sqrt{3})$