与えられた4階線形非同次微分方程式 $y^{(4)} - 81y = \sin 2x$ の一般解を求めます。

1. 問題の内容

与えられた4階線形非同次微分方程式

$y^{(4)} - 81y = \sin 2x$

の一般解を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 同次方程式の解を求める:

まず、同次方程式

$y^{(4)} - 81y = 0$

を解きます。特性方程式は

$r^4 - 81 = 0$

となります。これは

$(r^2 - 9)(r^2 + 9) = 0$

と因数分解できます。したがって、根は

$r = \pm 3, \pm 3i$

となります。よって、同次方程式の一般解は

$y_h = c_1 e^{3x} + c_2 e^{-3x} + c_3 \cos 3x + c_4 \sin 3x$

となります。ここで、$c_1, c_2, c_3, c_4$ は任意定数です。

(2) 特殊解を求める:

非同次方程式 $y^{(4)} - 81y = \sin 2x$ の特殊解を仮定します。右辺が $\sin 2x$ なので、特殊解を

$y_p = A \cos 2x + B \sin 2x$

と仮定します。これを微分すると、

$y_p' = -2A \sin 2x + 2B \cos 2x$

$y_p'' = -4A \cos 2x - 4B \sin 2x$

$y_p''' = 8A \sin 2x - 8B \cos 2x$

$y_p^{(4)} = 16A \cos 2x + 16B \sin 2x$

となります。これらを元の微分方程式に代入すると、

$(16A \cos 2x + 16B \sin 2x) - 81(A \cos 2x + B \sin 2x) = \sin 2x$

整理すると、

$(16A - 81A) \cos 2x + (16B - 81B) \sin 2x = \sin 2x$

$-65A \cos 2x - 65B \sin 2x = \sin 2x$

したがって、

$-65A = 0$

$-65B = 1$

より、

$A = 0$

$B = -\frac{1}{65}$

よって、特殊解は

$y_p = -\frac{1}{65} \sin 2x$

となります。

(3) 一般解を求める:

一般解は、同次方程式の一般解と特殊解の和で与えられます。

$y = y_h + y_p = c_1 e^{3x} + c_2 e^{-3x} + c_3 \cos 3x + c_4 \sin 3x - \frac{1}{65} \sin 2x$

3. 最終的な答え

$y = c_1 e^{3x} + c_2 e^{-3x} + c_3 \cos 3x + c_4 \sin 3x - \frac{1}{65} \sin 2x$