与えられた関数を、カッコ内に指定された変数変換（置換積分）を用いて積分します。

はい、承知いたしました。問題3の(1)から(8)まで、指定された置換を用いて積分を求める問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた関数を、カッコ内に指定された変数変換（置換積分）を用いて積分します。

2. 解き方の手順

各問題について、以下の手順で解きます。

1. 指定された変数変換を行います。

2. $dx$ を $dt$ で表します。

3. 積分変数を $x$ から $t$ に変換します。

4. $t$ で積分します。

5. 積分後、$t$ を $x$ に戻します。

(1) $\int \frac{x^2}{(2x+1)^2} dx$, $2x+1 = t$ のとき、$x = \frac{t-1}{2}$、$dx = \frac{1}{2} dt$

$\int \frac{(\frac{t-1}{2})^2}{t^2} \frac{1}{2} dt = \frac{1}{8} \int \frac{t^2 - 2t + 1}{t^2} dt = \frac{1}{8} \int (1 - \frac{2}{t} + \frac{1}{t^2}) dt = \frac{1}{8} (t - 2\ln|t| - \frac{1}{t}) + C = \frac{1}{8} (2x+1 - 2\ln|2x+1| - \frac{1}{2x+1}) + C$

(2) $\int \frac{x}{\sqrt{x^4 - 2}} dx$, $x^2 = t$ のとき、$2x dx = dt$

$\int \frac{1}{2\sqrt{t^2 - 2}} dt = \frac{1}{2} \cosh^{-1}(\frac{t}{\sqrt{2}}) + C = \frac{1}{2} \cosh^{-1}(\frac{x^2}{\sqrt{2}}) + C$

(3) $\int \frac{1}{x^2 + x + 1} dx$, $x + \frac{1}{2} = t$ のとき、$dx = dt$

$x^2 + x + 1 = (x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} = t^2 + \frac{3}{4}$

$\int \frac{1}{t^2 + \frac{3}{4}} dt = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{2t}{\sqrt{3}}) + C = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}) + C$

(4) $\int x^3 \sqrt{1+x^2} dx$, $\sqrt{1+x^2} = t$ のとき、$1+x^2 = t^2$, $x^2 = t^2 - 1$, $2x dx = 2t dt$, $x dx = t dt$

$\int (t^2 - 1) t^2 dt = \int (t^4 - t^2) dt = \frac{t^5}{5} - \frac{t^3}{3} + C = \frac{(1+x^2)^{5/2}}{5} - \frac{(1+x^2)^{3/2}}{3} + C$

(5) $\int \cos^3 x \sin^2 x dx$, $\sin x = t$ のとき, $\cos x dx = dt$, $\cos^2 x = 1-\sin^2 x = 1-t^2$

$\int (1-t^2) t^2 dt = \int (t^2 - t^4) dt = \frac{t^3}{3} - \frac{t^5}{5} + C = \frac{\sin^3 x}{3} - \frac{\sin^5 x}{5} + C$

(6) $\int (x+1)\sqrt{2x-3} dx$, $\sqrt{2x-3} = t$ のとき, $2x-3 = t^2$, $x = \frac{t^2+3}{2}$, $dx = t dt$

$\int (\frac{t^2+3}{2} + 1)t^2 dt = \int (\frac{t^2+5}{2})t^2 dt = \frac{1}{2} \int (t^4 + 5t^2) dt = \frac{1}{2}(\frac{t^5}{5} + \frac{5t^3}{3}) + C = \frac{1}{10} (2x-3)^{5/2} + \frac{5}{6}(2x-3)^{3/2} + C$

(7) $\int \frac{(\log x)^2}{x} dx$, $\log x = t$ のとき, $\frac{1}{x} dx = dt$

$\int t^2 dt = \frac{t^3}{3} + C = \frac{(\log x)^3}{3} + C$

(8) $\int \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} dx$, $x = \tan t$ のとき, $dx = \sec^2 t dt$

$\int \frac{1}{(1+\tan^2 t)^{3/2}} \sec^2 t dt = \int \frac{1}{(\sec^2 t)^{3/2}} \sec^2 t dt = \int \frac{\sec^2 t}{\sec^3 t} dt = \int \frac{1}{\sec t} dt = \int \cos t dt = \sin t + C = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{8} (2x+1 - 2\ln|2x+1| - \frac{1}{2x+1}) + C$

(2) $\frac{1}{2} \cosh^{-1}(\frac{x^2}{\sqrt{2}}) + C$

(3) $\frac{2}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}) + C$

(4) $\frac{(1+x^2)^{5/2}}{5} - \frac{(1+x^2)^{3/2}}{3} + C$

(5) $\frac{\sin^3 x}{3} - \frac{\sin^5 x}{5} + C$

(6) $\frac{1}{10} (2x-3)^{5/2} + \frac{5}{6}(2x-3)^{3/2} + C$

(7) $\frac{(\log x)^3}{3} + C$

(8) $\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} + C$