区間 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上の連続関数全体からなるベクトル空間 $C^0([0, \frac{\pi}{2}])$ において、内積を $(f, g) = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x)g(x) dx$ で定義する。$V$ を $\{\sin x, \cos x\}$ で生成される $C^0([0, \frac{\pi}{2}])$ の部分空間とする。$V$ の基底 $\{\sin x, \cos x\}$ に関するグラム行列を求める。

1. 問題の内容

区間 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上の連続関数全体からなるベクトル空間 $C^0([0, \frac{\pi}{2}])$ において、内積を $(f, g) = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x)g(x) dx$ で定義する。$V$ を $\{\sin x, \cos x\}$ で生成される $C^0([0, \frac{\pi}{2}])$ の部分空間とする。$V$ の基底 $\{\sin x, \cos x\}$ に関するグラム行列を求める。

2. 解き方の手順

グラム行列は、基底ベクトルの内積を成分とする行列である。基底 $\{\sin x, \cos x\}$ に関するグラム行列を $G$ とすると、

$$$$

G = \begin{pmatrix}

(\sin x, \sin x) & (\sin x, \cos x) \\

(\cos x, \sin x) & (\cos x, \cos x)

\end{pmatrix}

$$$$

となる。したがって、以下の内積を計算する必要がある。

(1) $(\sin x, \sin x) = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x dx$

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ なので、

$$$$

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \left[ \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{4}

$$$$

(2) $(\sin x, \cos x) = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cos x dx$

$\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$ なので、

$$$$

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cos x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} \sin 2x dx = \left[ -\frac{1}{4} \cos 2x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{1}{4} (-1 - 1) = \frac{1}{2}

$$$$

(3) $(\cos x, \sin x) = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \sin x dx$

これは $(\sin x, \cos x)$ と同じなので、$(\cos x, \sin x) = \frac{1}{2}$

(4) $(\cos x, \cos x) = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x dx$

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ なので、

$$$$

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2x}{2} dx = \left[ \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{4}

$$$$

したがって、グラム行列は

$$$$

G = \begin{pmatrix}

\frac{\pi}{4} & \frac{1}{2} \\

\frac{1}{2} & \frac{\pi}{4}

\end{pmatrix}

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3. 最終的な答え

グラム行列は

$\begin{pmatrix}

\frac{\pi}{4} & \frac{1}{2} \\

\frac{1}{2} & \frac{\pi}{4}

\end{pmatrix}$