与えられた3階線形非同次微分方程式を解きます。微分方程式は次のとおりです。 $y''' + y'' - y' - y = e^x$

1. 問題の内容

与えられた3階線形非同次微分方程式を解きます。微分方程式は次のとおりです。

$y''' + y'' - y' - y = e^x$

2. 解き方の手順

まず、同次方程式 $y''' + y'' - y' - y = 0$ の一般解を求めます。

特性方程式は次のようになります。

$r^3 + r^2 - r - 1 = 0$

これは次のように因数分解できます。

$(r-1)(r+1)^2 = 0$

したがって、特性方程式の根は $r = 1, -1, -1$ です。

したがって、同次方程式の一般解は次のようになります。

$y_h(x) = c_1 e^x + c_2 e^{-x} + c_3 x e^{-x}$

ここで、$c_1, c_2, c_3$ は任意定数です。

次に、非同次方程式の特殊解 $y_p(x)$ を求めます。

右辺は $e^x$ なので、$y_p(x) = A x e^x$ の形式で特殊解を探します。これは、同次解に $e^x$ が含まれているためです。

$y_p'(x) = A e^x + A x e^x = A(1+x)e^x$

$y_p''(x) = A e^x + A e^x + A x e^x = A(2+x)e^x$

$y_p'''(x) = A e^x + A e^x + A e^x + A x e^x = A(3+x)e^x$

これらの導関数を元の微分方程式に代入すると、次のようになります。

$A(3+x)e^x + A(2+x)e^x - A(1+x)e^x - A x e^x = e^x$

$3A + Ax + 2A + Ax - A - Ax - Ax = 1$

$4A = 1$

$A = \frac{1}{4}$

したがって、$y_p(x) = \frac{1}{4} x e^x$

したがって、微分方程式の一般解は次のようになります。

$y(x) = y_h(x) + y_p(x)$

$y(x) = c_1 e^x + c_2 e^{-x} + c_3 x e^{-x} + \frac{1}{4} x e^x$

3. 最終的な答え

$y(x) = c_1 e^x + c_2 e^{-x} + c_3 x e^{-x} + \frac{1}{4} x e^x$