与えられた3階線形非同次常微分方程式 $y''' + y = e^{-x}$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた3階線形非同次常微分方程式 $y''' + y = e^{-x}$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、同次方程式 $y''' + y = 0$ の一般解を求めます。次に、非同次方程式 $y''' + y = e^{-x}$ の特殊解を求めます。最後に、同次方程式の一般解と非同次方程式の特殊解を足し合わせることで、非同次方程式の一般解を求めます。

(1) 同次方程式 $y''' + y = 0$ の一般解を求める。

特性方程式は $r^3 + 1 = 0$ です。これは $(r + 1)(r^2 - r + 1) = 0$ と因数分解できます。

したがって、$r = -1, \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ となります。

ここで、$\alpha = \frac{1}{2}, \beta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ とおくと、同次方程式の一般解は次のようになります。

$y_h(x) = c_1 e^{-x} + c_2 e^{\frac{1}{2}x} \cos(\frac{\sqrt{3}}{2}x) + c_3 e^{\frac{1}{2}x} \sin(\frac{\sqrt{3}}{2}x)$

(2) 非同次方程式 $y''' + y = e^{-x}$ の特殊解を求める。

$y_p(x) = A x e^{-x}$ と仮定します（$e^{-x}$ が同次方程式の解に含まれているため、係数 $x$ が必要です）。

$y_p'(x) = A e^{-x} - A x e^{-x}$

$y_p''(x) = -A e^{-x} - A e^{-x} + A x e^{-x} = -2A e^{-x} + A x e^{-x}$

$y_p'''(x) = 2A e^{-x} + A e^{-x} - A x e^{-x} = 3A e^{-x} - A x e^{-x}$

これらを元の微分方程式に代入すると

$3A e^{-x} - A x e^{-x} + A x e^{-x} = e^{-x}$

$3A e^{-x} = e^{-x}$

したがって、$3A = 1$ より $A = \frac{1}{3}$ となります。

よって、特殊解は $y_p(x) = \frac{1}{3} x e^{-x}$ となります。

(3) 非同次方程式の一般解を求める。

一般解は同次方程式の一般解と特殊解の和で与えられます。

$y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c_1 e^{-x} + c_2 e^{\frac{1}{2}x} \cos(\frac{\sqrt{3}}{2}x) + c_3 e^{\frac{1}{2}x} \sin(\frac{\sqrt{3}}{2}x) + \frac{1}{3} x e^{-x}$

3. 最終的な答え

$y(x) = c_1 e^{-x} + c_2 e^{\frac{1}{2}x} \cos(\frac{\sqrt{3}}{2}x) + c_3 e^{\frac{1}{2}x} \sin(\frac{\sqrt{3}}{2}x) + \frac{1}{3} x e^{-x}$