与えられた3つの2階線形非同次常微分方程式を解く問題です。 (6) $y'' + a^2 y = \cos bx, (a \ne b)$ (7) $y'' - 2y' + y = x + 2\sin x$ (8) $y'' + 4y = 4\cos 2x$

1. 問題の内容

与えられた3つの2階線形非同次常微分方程式を解く問題です。

(6) $y'' + a^2 y = \cos bx, (a \ne b)$

(7) $y'' - 2y' + y = x + 2\sin x$

(8) $y'' + 4y = 4\cos 2x$

2. 解き方の手順

(6) $y'' + a^2 y = \cos bx, (a \ne b)$

まず、同次方程式 $y'' + a^2 y = 0$ の一般解を求めます。特性方程式は $r^2 + a^2 = 0$ となり、解は $r = \pm ai$ です。したがって、同次方程式の一般解は $y_h = c_1 \cos ax + c_2 \sin ax$ となります。

次に、非同次方程式の特殊解 $y_p$ を求めます。右辺が $\cos bx$ なので、$y_p = A \cos bx + B \sin bx$ と仮定します。$y_p' = -Ab \sin bx + Bb \cos bx$、$y_p'' = -Ab^2 \cos bx - Bb^2 \sin bx$ を求めます。

これらを元の微分方程式に代入すると、

$-Ab^2 \cos bx - Bb^2 \sin bx + a^2(A \cos bx + B \sin bx) = \cos bx$

$(a^2 - b^2)A \cos bx + (a^2 - b^2)B \sin bx = \cos bx$

$\cos bx$ と $\sin bx$ の係数を比較すると、$A(a^2 - b^2) = 1$、$B(a^2 - b^2) = 0$ となります。したがって、$A = \frac{1}{a^2 - b^2}$、$B = 0$ となり、$y_p = \frac{1}{a^2 - b^2} \cos bx$ となります。

したがって、一般解は $y = y_h + y_p = c_1 \cos ax + c_2 \sin ax + \frac{1}{a^2 - b^2} \cos bx$ となります。

(7) $y'' - 2y' + y = x + 2\sin x$

まず、同次方程式 $y'' - 2y' + y = 0$ の一般解を求めます。特性方程式は $r^2 - 2r + 1 = (r-1)^2 = 0$ となり、解は $r = 1$ (重解) です。したがって、同次方程式の一般解は $y_h = c_1 e^x + c_2 x e^x$ となります。

次に、非同次方程式の特殊解 $y_p$ を求めます。右辺が $x + 2\sin x$ なので、$y_p = (Ax + B) + (C\cos x + D\sin x)$ と仮定します。

$y_p' = A - C\sin x + D\cos x$、$y_p'' = -C\cos x - D\sin x$ を求めます。

これらを元の微分方程式に代入すると、

$(-C\cos x - D\sin x) - 2(A - C\sin x + D\cos x) + (Ax + B + C\cos x + D\sin x) = x + 2\sin x$

$Ax + (B - 2A) + (2C - 2D)\sin x + (-2C - 2D)\cos x = x + 2\sin x$

係数を比較すると、$A = 1$、$B - 2A = 0$、$2C - 2D = 2$、$-2C - 2D = 0$ となります。

$A = 1$、$B = 2$、$C = 1/2$、$D = -1/2$。

したがって、$y_p = x + 2 + \cos x$ となります。

したがって、一般解は $y = y_h + y_p = c_1 e^x + c_2 x e^x + x + 2 - \cos x$ となります。

(8) $y'' + 4y = 4\cos 2x$

まず、同次方程式 $y'' + 4y = 0$ の一般解を求めます。特性方程式は $r^2 + 4 = 0$ となり、解は $r = \pm 2i$ です。したがって、同次方程式の一般解は $y_h = c_1 \cos 2x + c_2 \sin 2x$ となります。

次に、非同次方程式の特殊解 $y_p$ を求めます。右辺が $4\cos 2x$ であり、同次方程式の解に $\cos 2x$ および $\sin 2x$ が含まれるため、$y_p = Ax \cos 2x + Bx \sin 2x$ と仮定します。

$y_p' = A \cos 2x - 2Ax \sin 2x + B \sin 2x + 2Bx \cos 2x$

$y_p'' = -4A \sin 2x - 4Ax \cos 2x + 4B \cos 2x - 4Bx \sin 2x$

これらを元の微分方程式に代入すると、

$(-4A \sin 2x - 4Ax \cos 2x + 4B \cos 2x - 4Bx \sin 2x) + 4(Ax \cos 2x + Bx \sin 2x) = 4\cos 2x$

$-4A \sin 2x + 4B \cos 2x = 4\cos 2x$

係数を比較すると、$-4A = 0$、$4B = 4$ となります。したがって、$A = 0$、$B = 1$ となり、$y_p = x \sin 2x$ となります。

したがって、一般解は $y = y_h + y_p = c_1 \cos 2x + c_2 \sin 2x + x \sin 2x$ となります。

3. 最終的な答え

(6) $y = c_1 \cos ax + c_2 \sin ax + \frac{1}{a^2 - b^2} \cos bx$

(7) $y = c_1 e^x + c_2 x e^x + x + 2 - \cos x$

(8) $y = c_1 \cos 2x + c_2 \sin 2x + x \sin 2x$