$\int \frac{\sin t}{7-3\sin^2 t} dt$ を計算せよ。

1. 問題の内容

$\int \frac{\sin t}{7-3\sin^2 t} dt$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2 t = 1 - \cos^2 t$ を用いて、積分を次のように変形します。

$\int \frac{\sin t}{7-3(1-\cos^2 t)} dt = \int \frac{\sin t}{7-3+3\cos^2 t} dt = \int \frac{\sin t}{4+3\cos^2 t} dt$

ここで、$u = \cos t$ と置換すると、$du = -\sin t dt$ となり、積分は次のようになります。

$\int \frac{\sin t}{4+3\cos^2 t} dt = \int \frac{-du}{4+3u^2} = -\int \frac{1}{4+3u^2} du$

さらに、定数項を外に出すために、$4+3u^2 = 4(1+\frac{3}{4}u^2)$と変形し、積分を次のように書き換えます。

$-\int \frac{1}{4+3u^2} du = -\frac{1}{4} \int \frac{1}{1+\frac{3}{4}u^2} du$

ここで、$v = \sqrt{\frac{3}{4}}u = \frac{\sqrt{3}}{2}u$ と置換すると、$dv = \frac{\sqrt{3}}{2} du$ より、$du = \frac{2}{\sqrt{3}} dv$ となり、積分は次のようになります。

$-\frac{1}{4} \int \frac{1}{1+\frac{3}{4}u^2} du = -\frac{1}{4} \int \frac{1}{1+v^2} \frac{2}{\sqrt{3}} dv = -\frac{1}{2\sqrt{3}} \int \frac{1}{1+v^2} dv$

$\int \frac{1}{1+v^2} dv = \arctan(v) + C$ なので、

$-\frac{1}{2\sqrt{3}} \int \frac{1}{1+v^2} dv = -\frac{1}{2\sqrt{3}} \arctan(v) + C = -\frac{1}{2\sqrt{3}} \arctan(\frac{\sqrt{3}}{2}u) + C$

最後に、$u = \cos t$ を代入すると、

$-\frac{1}{2\sqrt{3}} \arctan(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos t) + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2\sqrt{3}} \arctan(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos t) + C$