与えられた4階線形非同次微分方程式 $y^{(4)} - 8y'' + 16y = x^2$ の解を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた4階線形非同次微分方程式

$y^{(4)} - 8y'' + 16y = x^2$

の解を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、同次方程式 $y^{(4)} - 8y'' + 16y = 0$ の一般解を求めます。

次に、非同次方程式の特殊解を求めます。

最後に、一般解と特殊解を足し合わせて、非同次方程式の一般解を求めます。

ステップ1：同次方程式の一般解を求める

特性方程式は

$r^4 - 8r^2 + 16 = 0$

これは $(r^2 - 4)^2 = 0$ と書けます。

したがって、 $r^2 = 4$ であり、 $r = \pm 2$ は重根です。

よって、同次方程式の一般解は

$y_c(x) = c_1e^{2x} + c_2xe^{2x} + c_3e^{-2x} + c_4xe^{-2x}$

となります。ここで、$c_1, c_2, c_3, c_4$ は任意定数です。

ステップ2：非同次方程式の特殊解を求める

$x^2$ は2次関数であるため、特殊解を

$y_p(x) = Ax^2 + Bx + C$

と仮定します。

$y_p'(x) = 2Ax + B$

$y_p''(x) = 2A$

$y_p'''(x) = 0$

$y_p^{(4)}(x) = 0$

与えられた微分方程式に代入すると

$0 - 8(2A) + 16(Ax^2 + Bx + C) = x^2$

$-16A + 16Ax^2 + 16Bx + 16C = x^2$

係数を比較すると

$16A = 1$

$16B = 0$

$-16A + 16C = 0$

したがって、

$A = \frac{1}{16}$

$B = 0$

$C = A = \frac{1}{16}$

よって、特殊解は

$y_p(x) = \frac{1}{16}x^2 + \frac{1}{16}$

ステップ3：非同次方程式の一般解を求める

非同次方程式の一般解は、同次方程式の一般解と特殊解の和で与えられます。

$y(x) = y_c(x) + y_p(x)$

$y(x) = c_1e^{2x} + c_2xe^{2x} + c_3e^{-2x} + c_4xe^{-2x} + \frac{1}{16}x^2 + \frac{1}{16}$

3. 最終的な答え

$y(x) = c_1e^{2x} + c_2xe^{2x} + c_3e^{-2x} + c_4xe^{-2x} + \frac{1}{16}x^2 + \frac{1}{16}$