ガンマ関数について、$\Gamma(s+1) = s\Gamma(s)$ を示す問題です。

1. 問題の内容

ガンマ関数について、$\Gamma(s+1) = s\Gamma(s)$ を示す問題です。

2. 解き方の手順

ガンマ関数の定義を利用します。ガンマ関数は一般に次のように定義されます。

$\Gamma(s) = \int_0^\infty t^{s-1}e^{-t} dt$

この定義に基づいて $\Gamma(s+1)$ を計算します。

$\Gamma(s+1) = \int_0^\infty t^{(s+1)-1}e^{-t} dt = \int_0^\infty t^{s}e^{-t} dt$

ここで部分積分を行います。$u = t^s$、$dv = e^{-t} dt$ とすると、$du = st^{s-1} dt$、$v = -e^{-t}$ となります。

したがって、

$\int_0^\infty t^{s}e^{-t} dt = \left[ -t^s e^{-t} \right]_0^\infty - \int_0^\infty (-e^{-t})st^{s-1} dt$

$= \left[ -t^s e^{-t} \right]_0^\infty + s\int_0^\infty t^{s-1} e^{-t} dt$

$\lim_{t\to\infty} t^s e^{-t} = 0$ と $t=0$ において $0^s e^{-0} = 0$ であるので、$\left[ -t^s e^{-t} \right]_0^\infty = 0$ となります（ただし、$s>0$と仮定）。

したがって、

$\Gamma(s+1) = s\int_0^\infty t^{s-1} e^{-t} dt = s\Gamma(s)$

3. 最終的な答え

$\Gamma(s+1) = s\Gamma(s)$