問題1：関数 $f(x) = (x^2 + 1)(2x - 3)^2$ について、曲線 $y = f(x)$ の $x = 1$ における微分係数を求めよ。 問題2：次の関数の3次導関数を求めよ。 (1) $y = x^5 - 4x^2 - 3$ (2) $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$

1. 問題の内容

問題1：関数 $f(x) = (x^2 + 1)(2x - 3)^2$ について、曲線 $y = f(x)$ の $x = 1$ における微分係数を求めよ。

問題2：次の関数の3次導関数を求めよ。

(1) $y = x^5 - 4x^2 - 3$

(2) $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$

2. 解き方の手順

問題1：

まず、$f(x)$ を微分します。積の微分公式と合成関数の微分公式を用います。

$f'(x) = (x^2 + 1)'(2x - 3)^2 + (x^2 + 1)((2x - 3)^2)'$

$f'(x) = 2x(2x - 3)^2 + (x^2 + 1)(2(2x - 3)(2))$

$f'(x) = 2x(2x - 3)^2 + 4(x^2 + 1)(2x - 3)$

次に、$x = 1$ を代入して $f'(1)$ を計算します。

$f'(1) = 2(1)(2(1) - 3)^2 + 4(1^2 + 1)(2(1) - 3)$

$f'(1) = 2(1)(-1)^2 + 4(2)(-1)$

$f'(1) = 2(1)(1) + 4(2)(-1)$

$f'(1) = 2 - 8$

$f'(1) = -6$

問題2 (1):

$y = x^5 - 4x^2 - 3$

$y' = 5x^4 - 8x$

$y'' = 20x^3 - 8$

$y''' = 60x^2$

問題2 (2):

$y = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$

$y' = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$

$y'' = (-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})x^{-\frac{5}{2}} = \frac{3}{4}x^{-\frac{5}{2}}$

$y''' = (\frac{3}{4})(-\frac{5}{2})x^{-\frac{7}{2}} = -\frac{15}{8}x^{-\frac{7}{2}} = -\frac{15}{8\sqrt{x^7}}$

3. 最終的な答え

問題1の答え：-6

問題2 (1)の答え：$60x^2$

問題2 (2)の答え：$-\frac{15}{8\sqrt{x^7}}$