不定積分 $\int \frac{\tan x}{\cos^2 x} dx$ を計算する。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{\tan x}{\cos^2 x} dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ であることを利用して積分を書き換えます。

$$\int \frac{\tan x}{\cos^2 x} dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} dx = \int \frac{\sin x}{\cos^3 x} dx$$

ここで、置換積分を行います。$u = \cos x$ と置くと、$du = -\sin x dx$ となります。したがって、

$$\int \frac{\sin x}{\cos^3 x} dx = \int \frac{-du}{u^3} = -\int u^{-3} du$$

$u^{-3}$ の積分は $\frac{u^{-2}}{-2}$ なので、

$$-\int u^{-3} du = -\frac{u^{-2}}{-2} + C = \frac{1}{2u^2} + C$$

ここで $u = \cos x$ を代入すると、

$$\frac{1}{2\cos^2 x} + C$$

$\cos^2 x$ の逆数は $\sec^2 x$ であるので、

$$\frac{1}{2} \sec^2 x + C$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \sec^2 x + C$