不定積分 $\int \sin^2(\frac{x}{6}) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \sin^2(\frac{x}{6}) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\sin^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$という三角関数の恒等式を使用します。

この恒等式を適用すると、積分は次のようになります。

$\int \sin^2(\frac{x}{6}) dx = \int \frac{1 - \cos(\frac{x}{3})}{2} dx$

積分を分割します。

$= \frac{1}{2} \int (1 - \cos(\frac{x}{3})) dx$

$= \frac{1}{2} \int 1 dx - \frac{1}{2} \int \cos(\frac{x}{3}) dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int 1 dx = x + C_1$

$\int \cos(\frac{x}{3}) dx = 3 \sin(\frac{x}{3}) + C_2$

これらをまとめると、

$\frac{1}{2} \int 1 dx - \frac{1}{2} \int \cos(\frac{x}{3}) dx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} (3 \sin(\frac{x}{3})) + C$

$= \frac{x}{2} - \frac{3}{2} \sin(\frac{x}{3}) + C$

3. 最終的な答え

$\frac{x}{2} - \frac{3}{2} \sin(\frac{x}{3}) + C$