$m, n \in \mathbb{N}$ とする。 ベータ関数 $B(m, n)$ が、ガンマ関数 $\Gamma(m)$, $\Gamma(n)$, $\Gamma(m+n)$ を用いて、以下の式で表されることを示せ。 $B(m, n) = \frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}$

1. 問題の内容

$m, n \in \mathbb{N}$ とする。

ベータ関数 $B(m, n)$ が、ガンマ関数 $\Gamma(m)$, $\Gamma(n)$, $\Gamma(m+n)$ を用いて、以下の式で表されることを示せ。

$B(m, n) = \frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}$

2. 解き方の手順

ベータ関数とガンマ関数の定義を利用して証明する。

まず、ベータ関数の定義は次の通りである。

$B(m, n) = \int_0^1 x^{m-1} (1-x)^{n-1} dx$

次に、ガンマ関数の定義は次の通りである。

$\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} dt$

ここで、$B(m, n)$と$\Gamma(m)$, $\Gamma(n)$, $\Gamma(m+n)$の関係を示すために、積分を計算する。

まず、$x = \sin^2 \theta$と変数変換する。$dx = 2\sin \theta \cos \theta d\theta$であり、$x: 0 \to 1$のとき$\theta: 0 \to \frac{\pi}{2}$となる。したがって、

$B(m, n) = \int_0^{\pi/2} (\sin^2 \theta)^{m-1} (1 - \sin^2 \theta)^{n-1} 2 \sin \theta \cos \theta d\theta$

$B(m, n) = \int_0^{\pi/2} (\sin^2 \theta)^{m-1} (\cos^2 \theta)^{n-1} 2 \sin \theta \cos \theta d\theta$

$B(m, n) = 2 \int_0^{\pi/2} \sin^{2m-2} \theta \cos^{2n-2} \theta \sin \theta \cos \theta d\theta$

$B(m, n) = 2 \int_0^{\pi/2} \sin^{2m-1} \theta \cos^{2n-1} \theta d\theta$

次に、ガンマ関数を用いて、$\Gamma(m)\Gamma(n)$を計算する。

$x,y>0$に対して、

$\Gamma(m)\Gamma(n) = \int_0^\infty x^{m-1} e^{-x} dx \int_0^\infty y^{n-1} e^{-y} dy$

$\Gamma(m)\Gamma(n) = \int_0^\infty \int_0^\infty x^{m-1} y^{n-1} e^{-(x+y)} dxdy$

ここで、$x=r^2\cos^2\theta, y=r^2\sin^2\theta$とおくと、$x+y=r^2, \frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} = 4r^3\cos\theta\sin\theta$となる。

$\Gamma(m)\Gamma(n) = \int_0^\infty \int_0^{\pi/2} (r^2\cos^2\theta)^{m-1} (r^2\sin^2\theta)^{n-1} e^{-r^2} 4r^3\cos\theta\sin\theta dr d\theta$

$\Gamma(m)\Gamma(n) = 4 \int_0^\infty r^{2m+2n-4+3} e^{-r^2} dr \int_0^{\pi/2} (\cos\theta)^{2m-2+1} (\sin\theta)^{2n-2+1} d\theta$

$\Gamma(m)\Gamma(n) = 4 \int_0^\infty r^{2m+2n-1} e^{-r^2} dr \int_0^{\pi/2} \cos^{2m-1}\theta \sin^{2n-1}\theta d\theta$

$t=r^2$とおくと、$dt=2rdr$なので、$\int_0^\infty r^{2m+2n-1}e^{-r^2}dr = \frac{1}{2}\int_0^\infty t^{m+n-1}e^{-t}dt = \frac{\Gamma(m+n)}{2}$

$\Gamma(m)\Gamma(n) = 4 \cdot \frac{\Gamma(m+n)}{2} \cdot \frac{1}{2} B(m, n) = \Gamma(m+n) B(m,n)$

したがって、$B(m, n) = \frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}$が成り立つ。

3. 最終的な答え

$B(m, n) = \frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}$