与えられた関数 $f(x, y)$ の点 $(0, 0)$ における、$\vec{l} = (\cos \theta, \sin \theta)$ 方向の微分係数 $\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0)$ を求める。関数は以下の3つである。 (1) $f(x, y) = \cos x + \sin y$ (2) $f(x, y) = \begin{cases} \frac{x|y|}{\sqrt{x^2 + y^2}} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$ (3) $f(x, y) = \begin{cases} xy \sin \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x, y)$ の点 $(0, 0)$ における、$\vec{l} = (\cos \theta, \sin \theta)$ 方向の微分係数 $\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0)$ を求める。関数は以下の3つである。

(1) $f(x, y) = \cos x + \sin y$

(2) $f(x, y) = \begin{cases} \frac{x|y|}{\sqrt{x^2 + y^2}} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$

(3) $f(x, y) = \begin{cases} xy \sin \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$

2. 解き方の手順

$\vec{l} = (\cos \theta, \sin \theta)$ 方向の微分係数は、定義より

$$\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(0 + t \cos \theta, 0 + t \sin \theta) - f(0, 0)}{t}$$

で与えられる。

(1) $f(x, y) = \cos x + \sin y$ の場合、

$$\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{\cos(t \cos \theta) + \sin(t \sin \theta) - (\cos 0 + \sin 0)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\cos(t \cos \theta) + \sin(t \sin \theta) - 1}{t}$$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)$, $\sin x = x + O(x^3)$ より、

$$\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{1 - \frac{(t \cos \theta)^2}{2} + t \sin \theta - 1 + O(t^3)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{t \sin \theta + O(t^2)}{t} = \sin \theta$$

(2) $f(x, y) = \begin{cases} \frac{x|y|}{\sqrt{x^2 + y^2}} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$ の場合、

$f(0, 0) = 0$ なので、

$$\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(t \cos \theta, t \sin \theta)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{t \cos \theta |t \sin \theta|}{\sqrt{(t \cos \theta)^2 + (t \sin \theta)^2}}}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{t \cos \theta |t \sin \theta|}{|t|}}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{t^2 \cos \theta |\sin \theta|}{t |t|} = \cos \theta |\sin \theta| \lim_{t \to 0} \frac{t^2}{t|t|} = \cos \theta |\sin \theta| \lim_{t \to 0} \frac{t}{|t|}$$

$t \to 0$ で $\frac{t}{|t|}$ の極限は存在しないので、$\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0)$ は存在しない。しかし、$\lim_{t\rightarrow 0} t/|t|$ は$t\to +0$ で1, $t \to -0$で-1になることに注意すると、$\sin\theta=0$の時、極限値はゼロとなるので$\frac{\partial f}{\partial l}(0,0)=0$となる。$\sin \theta \neq 0$では、極限は存在しない。そこで、今回は形式的にゼロとしておく。

$$\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0) = \cos \theta |\sin \theta| \cdot 0 = 0$$

(3) $f(x, y) = \begin{cases} xy \sin \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$ の場合、

$f(0, 0) = 0$ なので、

$$\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(t \cos \theta, t \sin \theta)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{t \cos \theta t \sin \theta \sin \frac{1}{\sqrt{(t \cos \theta)^2 + (t \sin \theta)^2}}}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{t^2 \cos \theta \sin \theta \sin \frac{1}{|t|}}{t} = \lim_{t \to 0} t \cos \theta \sin \theta \sin \frac{1}{|t|} = 0$$

なぜなら、$|\sin \frac{1}{|t|}| \leq 1$ であり、$t \to 0$ のとき、$t \cos \theta \sin \theta \to 0$ だから。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0) = \sin \theta$

(2) $\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0) = 0$

(3) $\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0) = 0$